Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
через препятствие и образующих угол arctg (1/4) с вертикалью,
соответствуют точкам, выделенным кружками. Точки - экспериментальные
результаты, взятые с рис. 106 и других подобных фотографий.
-496
4. Внутренние волны,
-Рис. 106. Шлирен-фотография Моубрея, изображающая внутренние
гравитационные волны, генерируемые стационарным вертикальным движением
сферы (см. верхнюю часть фотографии) диаметром 25,4 мм, поднимающейся со
скоростью 10,2 мм/с в солевом растворе, плотность которого убывает с
высотой с постоянной скоростью 0,2 кг/м3 на мм.
-сферой приведены на рис. 106, показывающем формы поверхностей постоянной
фазы. Эти поверхности можно также рассчитать по формуле (319); результаты
расчетов приведены на рис. 105, б, где видно хорошее их согласование с
экспериментальными данными.
Если препятствие движется в стратифицированной жидкости ¦горизонтально со
скоростью -V, где V = (V, 0, 0), мы имеем
J5T (со0, к, I, т) = [(со0 - Vk)2 (к2 + 12+ т2) -
- N2 (к2 + Z2)]/[((o0 - Vk)m], (462)
оо оо
Рис. 107. Поверхность волновых чисел S (0) для внутренних волн,
генерируемых стационарным возмущением, движущимся горизонтально (налево)
со скоростью V в стратифицированной жидкости с постоянной частотой
Вяйсяля - Брента N. Построенные на рисунке кривые представляют собой
линии пересечения поверхности S (0) с плоскостями, на которых V | I |/ N
принимает различные постоянные значения, отмеченные на этих кривых.
32-01100
498
4. Внутренние волны
так что S (0) является поверхностью
V2k2 (к2 + I2 + т2) = N2 (к2 + I2). (463)
Генерируемые волны теперь более сложны, поскольку S (0) не является
поверхностью вращения. На рис. 107 показана форма этой поверхности при
помощи кривых, представляющих ее сечения различными плоскостями I =
const. Направление п (нормали к этой поверхности в направлении к
поверхности S (+6)) указано в каждом случае стрелкой, изображающей
составляющую вектора п в плоскости I = const. (Таким образом, более
короткие стрелки соответствуют направлениям нрр-мали п с большой
составляющей по у.) Во всех случаях волны находятся в направлениях
стрелок в правой полуплоскости (за движущимся объектом).
Предельный случай двумерных препятствий (цилиндров с образующей в
направлении у) обладает специфическими свойствами, представляющими
определенный интерес. Для двумерных внутренних волн В (а, к, т)
определяется выражением (330), приводящим к
Дг(со", к, т) =[(со0- Vk)2(k2 + m2) - jV2/c2]/[((o0 - Vk)m], (464)
так что S (0) является кривой
к2 [V2 (к2 + т2) - N2] = 0. (465)
Само собой разумеется, что уравнения (464) и (465) представляют собой
просто уравнения (462) и (463), в которых I положено равным нулю. Однако
важно, что получающаяся при этом кривая S (0) состоит (рис. 108а) из
окружности радиуса N/V и прямой к = 0, взятой дважды (так как множитель к
входит в (465) в квадрате).
Необходимость учитывать двукратность прямолинейпой ветви к = 0 становится
ясной, когда мы построим кривую S (+8), чтобы установить направление
нормали п. Часть кривой S (+6), расположенная близко к прямой к - 0,
состоит из двух ветвей (рис. 108а). Вне окружности обе ветви расположены
на одной и той же стороне прямой к = 0, а внутри нее они находятся на
противоположных сторонах. Вот почему в любой точке прямой к = 0 нужно
нарисовать две стрелки (рис. 1086), причем одна из них должна быть
направлена вперед от препятствия в точке внутри окружности (т. е. при | т
| < N/V). Действительно, из (464) вытекает, что ВТ (б, к, m) обращается в
нуль при
Vk х б ± Nk | m I-1, откуда к " б/(У =р N \m j-1); (466)
4.12. Генерирование волн движущимися воздействиями
499
Рис. 108а. Двумерные внутренние волны, генерируемые неподвижным
цилиндрическим препятствием (с образующими, перпендикулярными плоскости
рисунка) в потоке стратифицированной жидкости, движущейся горизонтально
направо (или же генерируемые тем же самым препятствием, движущимся налево
в покоящейся жидкости). На рисунке построены кривые волновых чисел S (0)
и S (о). Вблизи каждой точки на круговой части (радиуса N/V) кривой S (0)
находится одна точка кривой S (б), приводящая, как обычно, к единственной
стрелке на S (0); все стрелки показаны на рис. 1086. Но вблизи каждой
точки на прямолинейной части к = 0 кривой S (0) находятся две точки
кривой S (б), приводящие в двум стрелкам. Там, где | т | > N/V, эти
стрелки имеют одно и то же направление (обе части кривой S (б)
расположены на этой стороне), а там, где | т | < N/V, они направлены в
противоположные стороны. (По оси ординат откладываются значения т.)
при | т | > N/V оба эти значения к положительны, но при | т. | <С N/V
одно из них отрицательно.
Когда интегрирование по k в двумерном представлении интеграла (422)
производится с учетом условия излучения, вклад в значение этого интеграла
дают два полюса (466) при 6, при-
32*
500
4. Внутренние волны
Рис. 1086. Для того же случая, что и на рис. 108а, здесь показаны
расположение стрелок и соответствующее расположение волн. Эти волны
