Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
превосходящей скорость самой точки С.
ростью Uc = U (кс), соответствующей волнам длины 44 мм (см. конец разд.
3.6). Вблизи контура этого круга применяется уравнение (387). Главные
направления радиальны при
дщ/с/Ат = Uс, d2(oldkl = 0, д%(й!дк\ = иУ(кс(йс),
(388)
а азимутальны при
д<а!дк2 = 0, д2(й!дк\ = Uc/kc, (389)
откуда
_ 2я(?о (fec. 0) д • Г Uct - x 1 "1 / 2лкс \'/3
((1/2) tUl/(kca>c))i/3 1 ((l/2)*C/2c/(fccWc))1/3-l V U^ >
X ехр [/ (сос/ - ксх1-{- л/4)]. (390)
На рис. 99 показан вид этого выражения через большой промежуток времени
t, когда происходит переход от волновых амплитуд порядка
t~x, модулируемых в результате "биений" между
гравитационными и капиллярными волнами, через максимальную амплитуду
порядка t-5/6 к спокойной внутренней области с экспоненциально затухающей
амплитудой волн. Круговая каустика расширяется со скоростью Uc, в то
время как гребни волн движутся с большей скоростью сос//с0 = 1,58 Uc.
Поэтому при изображении относительно каустики (рис. 99) волны движутся
вперед (возникая "из ничего") со скоростью 0,58 С7с.
Результаты разд. 4.9, относящиеся к волнам от осциллирующего источника,
можно обобщить аналогичным образом. Мы опять начнем с двумерного
распространения: этот случай имеет важные приложения к корабельным волнам
(разд. 4.12).
Полное выражение (275) для плоских волн от осциллирующего источника
аппроксимируется с экспоненциально малой погрешностью двумерной формой
выражения (284); там за ось выбрано направление, в котором оценивается
значение решения. Если кривизна %<0) в точке на S+ с нормалью п в-этом
476
4. Внутренние волны
направлении отлична от нуля, то асимптотическая форма выражения (284)
такая же, как в (290).
Однако точка перегиба С на кривой волновых чисел 5 (т. е. точка нулевой
кривизны) порождает каустику. Она тянется от источника в направлении
нормали в точке перегиба. В силу того что лучи в направлениях нормалей,
выходящих из точек на кривой волновых чисел с любой стороны от С, лежат
на одной и той же стороне каустики, существует две группы волн на этой
стороне и ни одной - на другой.
Мы оценим волны в точках либо на каустике, либо вблизи нее, направив ось
х1 точно вдоль каустики (т. е. вдоль нормали в точке С). Тогда двумерная
форма выражения (284) примет вид
q= ~2ni [ехр (ш0?)] | F (к^ к2) [дВ/дк,]-1 X s+
X ехр [ - i (kiXi -j- к2х2)] dk2, (391)
где координата х2, измеряющая расстояние от каустики, отлична от нуля,
хотя и много меньше хг.
Вблизи точки перегиба к2 = к$ на кривой волновых чисел S разложение kt
как функция от к2 не совпадает с (286), так как производная (<Fkjdk1)с
равна нулю; действительно, оно имеет вид
*1 = *? + 4- (*2- *2)3 (dzkjdk\)c + 0 (к2- klf. (392)
Поэтому экспоненту под знаком интеграла в (391) можно аппроксимировать
выражением
ехр | - i k1xl-j- к"х2-\- (к2 - кс2) х2
+ 4 - к^3 (d^i/dklfx, ] } , (393)
которое является экспонентой от суммы члена, не зависящего от к2 - к\,
линейного члена и кубического члена. Это позволяет получить оценку
выражения (391) через интеграл Эйри в виде
4n2iF (к\, к%) ехр [г (a>0t-k^Xi- /с^г)]
IdB/dk^K 1/2) xj (d3fcl/dft8)C]l/3
x Ai /----------^^ ) . (394)
4(1/2) x1(d41ldkl)o]1/3 J
"Рана", отделяющая решение (290) теории лучей, изменяющееся как х~1/2, но
с обращающимся в бесконечность в точке С коэффициентом | х<0) l-1/2, от
области вне каустики, куда не прони-
4.11. Каустики
477
кают никакие лучи, "залечивается" этим решением, которое допускает рост
волновой амплитуды фактически до значения порядка х~у1'А перед
экспоненциальным затуханием до нуля вне каустики. Для иллюстрации такого
поведения в разд. 4.12 используются корабельные волны.
Мы завершаем этот раздел обсуждением некоторых свойств каустики в
неоднородных волновых системах, хотя и ограничиваемся стратифицированным
случаем (122), когда в дисперсионное соотношение входит явно только одна
координата z. При этом частота со и горизонтальные составляющие волнового
вектора к и I остаются постоянными вдоль луча. Соответственно этому
дисперсионное соотношение определяет вертикальную составляющую т
волнового вектора как некоторую функцию
т. = т, (z). (395)
.Например, для звуковых волн
[т (z)]2 = ю2 [с0 (г)]-2 - к2 - Р, (396)
в то время как для внутренних волн
[пг (z)]2 = (к2 + Р) {ю-2 [IV (z)]2 - 1}. (397)
В обоих случаях [пъ (z)]2 может обращаться в нуль (имея отлич-
ную от нуля первую производную) на каустике, где либо с0 (z) принимает
значение со (А2 + Р)~г/2, либо N (z) принимает значение со. По одну
сторону каустики существуют две группы волн, соответствующие
противоположным знакам т (z) (рис. 79 и 80), а по другую сторону (где не
существует действительного решения для т (z)) нет никаких волн.
В каждом случае для волн с заданными со, к и I соответствующим образом
выбранная физическая величина q должна записываться в виде
q = Q (z) ехр [i (cot - кх - ly)], где Q" (z) +
+ [m (z)]2 Q (z) = 0. (398)
•Это было доказано в (137) для восходящего массового потока q во
