Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, мы запишем произведение трех вторых производных в (243) как
значение /(0> при к} = k{f якобиана
/ = д (Ult Uv U3)/d (ки к2, к3) (245)
для вектора групповой скорости Uj = daldkj как функции вектора kj. Это
определитель матрицы (240), который в главных осях имеет нулевые
внедиагональные элементы, в силу чего /(0) является произведением трех
диагональных элементов
432
4. Внутренние волны
{д2а1дЩ)(0). В то же самое время /<0) инвариантен относительно поворота
осей, так как он характеризует расширение элемента •объема при переходе
от переменных kj к переменным Uj.
Подставляя в (243) 0 и /<0), а также выражение я|)<0) из (228), мы
получим асимптотическое представление интеграла в (229) для больших t в
виде
q = Q*> (2я/г)3/2|/<0)Г1/2ехр{Цш (к[°\ к?\ k(tm)) t-kfxj + Q]},
(246)
•если существует только одна стационарная точка k{f, или же в виде суммы
членов (246) от каждой стационарной точки.
В действительности, согласно (229), величина q равна половине полного
бесконечного интеграла, оценка которого была только что получена. Однако,
так как мы не хотим рассматривать -как самостоятельную стационарную
точку, отличающуюся от &<">, мы опустим множитель 1/2 и примем q равным
сумме членов (246) (имея в виду каждый раз действительную часть) только
для тех волновых чисел со стационарным ф, которые лежат в пределах
выбранного полупространства.
Согласно (235), эти стационарные точки находятся там, где
xjlt = doi/dkj = Uj, (247)
т. е. движутся с групповой скоростью. Это дает простое объяснение, почему
в асимптотическом решении (246) появляется якобиан (245).
Например, в системе, для которой плотность волновой энергии для
синусоидальной волны (221) равна произведению среднего квадрата величины
q (определяемого как (1/2) | а |2) и некоторого множителя W0 (къ к2, к3),
начальная волновая энергия для возмущения (224), соответствующая элементу
dkxdk2dk3 полупространства волновых чисел, составляет
W0 (к,, к2, к3) 4я3 | Qg |2 dkjdk2dk3. (248)
Вот почему по теореме Парсеваля к среднему квадрату функции (224)
добавляется член 2я3 | Q0 |2 dkidk2dk3 от каждого элемента всего
пространства волновых чисел. В момент t, когда волны с волновым числом kj
обнаруживаются в положении (247), те из них, которые принадлежат элементу
dktdk2dk3, заполняют область с объемом
| д (U^, U2t, U3t)/d (ки к2, k^)\-0)dk1dk2dk3 =
- ts | /(0) | dkxdk2dk3. (249) Отношение (248) к (249) определяет
плотность энергии
W0 (ки к2, к3) 4я3 | <?0 I2*"3 | /1°> Г1. (250)
4.8. Memod стационарной фазы в трехмерном случае
433
Прекрасной проверкой проделанной работы является тот факт, что выражение
(250) равно произведению W0 (кг, к2, к3) на средний квадрат
асимптотического решения (246); правда, такие энергетические рассуждения
не дают никакой инфорфации о фазовом сдвиге 0. Однако, как подтверждает
более строгий подход этого раздела, результаты, полученные в
предположении, что энергия распространяется с групповой скоростью, не
теряют силу из-за требования, согласно которому сложное возмущение
"распутывается" на ранних стадиях дисперсии.
Внутренние волны дают превосходную иллюстрацию наших результатов.
Согласно условию (244), для таких волн 0 всегда равно +я/4. Это следует
из того, что в силу (24), в пространстве волновых чисел поверхности ю =
const представляют собой конусы, оси которых вертикальны, а значение ю
возрастает как функция угла раствора конуса. Следовательно, азимутальное
направление всюду является главным направлением, в котором со возрастает.
Мы можем вычислить два главных направления в меридиональной плоскости, но
это не нужно: функция (228) (ю минус линейное приближение) должна
возрастать в одном из них и убывать в другом, так как существует
направление (образующая конуса), вдоль которого она остается постоянной.
В итоге резюмируем: фаза возрастает только в двух из трех главных]
направлений, так что 0 = л/4.
В случае внутренних волн мы воспользуемся волновым вектором (к, I, т).
Непосредственное, хотя и громоздкое вычисление якобиана /, определенного
в (245), с использованием компонент групповой скорости (91) дает
/ = -1У3т4 (к2 + Р)~У2 (k2 + I2 + ш2)-9'2. (251)
Этот расчет будет короче, если волновой вектор в полупространстве
представить в сферических координатах:
к = К cos 0 cos ф, I = К cos 0 sin ф, т = - К sin 0 (252)
(точно так же, как в (175), но только с заменой кп на К cos 0). Это
упрощает вектор групповой скорости (91), так что в момент t точка Uf, где
находятся волны с волновым вектором (А:, I, т), будет иметь координаты
х = NtK-1 sin2 0 cos ф, у = NtK~х sin2 0 втф,
z = NtK~x sin 0 cos 0. (253)
Тогда в соответствии с (251) t3J = д (х, у, z)fd (к, I, т) =
= \д {х, у, z)ld (К, 0, ф)] [д (к, I, т)/д (К, 0, ф)]-1 =
= [-{тук-ь sin4 0] [К2 COSJ0]-1 = - (№)3К-о sin4 0 sec 0.
(254)
28-01100
434
4. Внутренние волны
Уравнение (246) означает теперь, что q = [@о°' (К cos 0 cos ф, К cos 0
sin ф, -Ksin0)]x X (2n/(Nt)f/2 (К3 cosec2 0 cos'/2 Q) x X exp | j |~Nt
