Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
На основании всего сказанного естественно думать, что будущая теория вообще откажется от рассмотрения временного хода процессов взаимодействия частиц. Она покажет, что в этих процессах не существует точно определяемых характеристик (даже в пределах обычной квантовомеханической точности), так что описание процесса во времени окажется столь же иллюзорным, какими оказались классические траектории в нерелятивистской квантовой механике. Единственными наблюдаемыми величинами будут являться характеристики (импульсы, поляризации) свободных частиц — начальных частиц, вступающих во взаимодействие, и конечных частиц, возникших в результате процесса (Л. Д. Ландау, R. Peierls, 1930).
Характерная постановка вопроса в релятивистской квантовой теории состоит в определении амплитуд вероятности переходов, связывающих заданные начальные и конечные (т. е. при /->-+оо) состояния системы частиц. Совокупность амплитуд переходов между всеми возможными состояниями составляет матрицу рассеяния, или S-матрицу. Эта матрица будет носителем всей информации о процессах взаимодействия частиц, имеющей наблюдаемый физический смысл (W. Heisenberg, 1938).
В настоящее время полной, логически замкнутой релятивистской квантовой теории еще нет. Мы увидим, что существующая теория вносит новые физические аспекты в характер описания состояния частиц, приобретающего некоторые черты теории поля (см. § 10). Она строится, однако, в значительной мере по образцу и с помощью понятий обычной квантовой механики. Такое построение теории привело к успеху в области квантовой электродинамики. Отсутствие полной логической замкнутости в этой теории проявляется в существовании расходящихся выражений при прямом применении ее математического аппарата, но для устранения этих расходимостей существуют вполне однозначные способы. Тем не менее эти способы в значительной степени сохраняют характер полуэмпирических рецептов, и наша уверенность в правильности получающихся таким путем результатов основана в конечном счете на их прекрасном согласии с опытом, а не на внутренней согласованности и логической стройности основных принципов теории.
ГЛАВА I
ФОТОН
§ 2. Квантование свободного электромагнитного поля
Поставив своей целью рассмотреть электромагнитное поле как квантовый объект, удобно исходить из такого классического описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконечным, но дискретным рядом переменных; такое описание позволит непосредственно. применить обычный аппарат квантовой механики. Представление же поля с помощью потенциалов, задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помощью непрерывного множества переменных.
Пусть А (г, t) —векторный потенциал свободного электромагнитного поля, удовлетворяющий «условию поперечности»
Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А:
Как известно (см. II, § 52), в классической электродинамике переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных осуществляется путем рассмотрения поля в некотором большом, но конечном объеме пространства Vм). Напомним, как это делается, опустив детали вычислений.
Поле в конечном объеме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида
div А = 0.
При этом скалярный потенциал Ф = 0, а поля Е и Н: Е = — А, Н = rot А.
(2,1)
(2,2)
(2,3)
А = 2) (ake*kr + ake-*kr),
(2,4)
где коэффициенты ак зависят от времени по закону
at ~ е~ш, со = | к (.
(2,5)
1) Во избежание загромождения формул лишними множителями будем полагать V = 1.
20
ФОТОН
[ГЛ. I
В силу условия (2,1) комплексные векторы at ортогональны соответствующим волновым векторам: akk = 0.
Суммирование в (2,4) производится по бесконечному дискретному набору значений волнового вектора (его трех компонент kx, ky, kz). Переход к интегрированию по непрерывному распределению можно произвести с помощью выражения
для числа возможных значений к, приходящихся на элемент объема к-пространства d3k = dkxdkydkz.
Заданием векторов ак полностью определяется поле в данном объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как дискретный набор классических «переменных поля». Для выяснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует произвести еще некоторое преобразование эчтих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) классической механики. Канонические переменные поля определяются посредством
(они, очевидно, вещественны). Векторный потенциал выражается через канонические переменные согласно
Для нахождения функции Гамильтона Н надо вычислить полную энергию поля
выразив ее через величины Qk, Pk. Представив А в виде разложения (2,7), вычислив Е и Н согласно (2,2) и произведя интегрирование, получим
Каждый из векторов Pk и Qk перпендикулярен волновому вектору к, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направ-ление^этих векторов определяет направление поляризации соответствующей волны. Обозначив две компоненты векторов Qk, Pk (в плоскости, перпендикулярной к) посредством Qka, Ры
