Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 141. Низкоэнергетическая теорема для рассеяния фотона на адроие
В пределе малых частот сечение рассеяния фотона на всякой неподвижной заряженной частице стремится к своему классическому значению, даваемому формулой Томсона. Этому пределу соответствует не зависящая от частоты фотона ш амплитуда, которую обозначим Mft. Оказывается, однако, что и для рассеяния фотона (как и для рассмотренного в предыдущем параграфе тормозного излучения) не зависит от деталей электромагнитной структуры адрона не только этот первый, но и следующий член разложения амплитуды по степеням ю:
= + (141,1)
где М(1) ~ со (F. Е. Low, 1954; М. Gell-Mann, М. L. Goldberger, 1954),
§ 141] НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА 707
Рассматриваемый процесс изображается диаграммами трех видов:
*' к к к' к'
V / \ V
\ / \ Г
' / Ч /
\ )л р-к' \
из которых первые две снова характеризуются наличием одночастичного промежуточного состояния и потому обладают полюсной особенностью.
Аргументация и принципиальная сторона вычислений остаются теми же, что и в § 140. Достаточно фактически вычислить лишь вклад от полюсных частей диаграмм (141,2,а — б), причем электромагнитные вершины в них выражаются через статические формфакторы (заряд Ze и аномальный магнитный момент цаи) согласно (140,15).
Однако, в отличие от случая тормозного излучения, интересующие нас теперь поправки к сечению комптон-эффекта существуют лишь для частиц со спином. Дело в том, что в случае тормозного излучения кроме поправок, связанных со спином, имеются также поправки, связанные с энергетической завися-' мостью амплитуды «упругого» процесса. Но в данном случае роль последней играют формфакторы, которые для «физических концов» сводятся к постоянным и от энергии не зависят. Поэтому для рассеяния фотона поправки возникают только за счет магнитного момента, отсутствующего у частиц без спина. Ниже мы рассмотрим рассеяние фотона на адроне со спином i/a.
Понимая под Mfi вклад в амплитуду рассеяния от полюсных диаграмм, имеем (ср. (86,3—4))
Ма = - 4л (Ze)2 <v?v (й'СГм), (141,3)
где
<г - (/ + s'*) (vv—sv) +
+ (vv — sv) yP (v11 + s'11) ¦ (141,4)
S = (p + kf = (p' + k'f, u = (p — k'f = (p' — kf и для краткости введены обозначения
708
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ
[ГЛ. XIV
Переставляя операторы ур + М и учитывая уравнения й' (ур' — М) — (ур — М) и = 0, можно преобразовать выражение (141,4) к виду
<Г¦= [(y"+s'“) (v“+s'")]-
Г Vй (yk') + 2p'V- cv QV (yfe') Vй — 2p*
L 2 (p'k') ° 2(pk') J
- [У"YP ”¦ sv - s’ ypig)-+ M *1¦ «»¦<»
Такая форма записи (и аналогичная с переставленными fe и fe') делает очевидной калибровочную инвариантность выражения (141,3), условием которой являются равенства
fe; (a'Q^u) = (a'Q^u) fev = 0. (141,7)
(при проверке надо помнить, что (yk)(yk) = 0, kS = k'S'— 0).
Поскольку полюсная часть амплитуды рассеяния оказывается, таким образом, калибровочно-инвариантной уже сама по себе, должна быть инвариантной сама по себе также и регулярная часть амплитуды, включающая в себя и вклад диаграммы (141, 2,в). Отсюда в свою очередь следует, что разложение этой части по степеням fe и fe' должно начинаться с квадратичных членов (ср. аналогичное замечание в связи с условием
(127,5)). Другими словами, регулярная часть амплитуды содержит лишь члены, начиная с пропорциональных coco' ~ со2, т. е. не дает никакого вклада в интересующие нас члены, пропорциональные со0 и со1. Все последние содержатся, следовательно, в выражении (141,3).
Для их фактического вычисления выбираем лабораторную систему отсчета, в которой покоится начальный адрон. Для фотонов же выбираем трехмерно поперечную калибровку, в которой е0 = е' = 0. Тогда (ре) = 0, (р'е'*) ~! р'! ~ со, и из (141,6) видно, что первые члены разложения Mf,- будут пропорциональны со0, а члены, содержащие |хан, дадут вклад лишь в члены, пропорциональные со1.
Волновые амплитуды начального и конечного адронов в лабораторной системе отсчета с нужной точностью имеют вид
и = У2М(о). й' = л/2М (да'*, — -^g-(k— Ю®).
где w, w' — 3-спиноры.
§ 1421
МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ
709
Прямое вычисление приводит к следующему результату:
М{$ = — 16яШц2н© (w'*aw) [ [п'е'*] [пе] ] —
— 4яИецаисо (w'*ow) {п ([пе] е'*) + [пе] (пе'*) —
- п' ([п'е'*] е) - [п'е'*] (пе) - 2 [е'*е]}, (141,9)
где п = k/со, п' = к'/©'.
Сечение рассеяния
do = -^\Muf-^do' (141,10)
(см. (64,19)). Для рассеяния на заряженной частице отличны от нуля как М{^, так и Принятая точность допускает при этом сохранение в квадрате |Л4^|2 членов |Л4$>|2 и Re *).
Первый дает томсоновское сечение. Второй же обращается в нуль при усреднении по поляризациям фотонов и адронов. Поэтому при рассеянии на заряженном адроне рассматриваемые поправки проявляются только в поляризационных эффектах.
Для рассеяния же на электрически нейтральном адроне Mf) = 0 и сечение определяется квадратом |Л^ |2. После усреднения по поляризациям начальных и суммирования по поляризациям конечных частиц оно оказывается равным (в обычных единицах)
do = (2 + sin2 do', (141,11)
где Ф — угол рассеяния фотона, а аномальный магнитный момент совпадает с полным моментом ц. Отметим, что по своей угловой зависимости это сечение соответствует случаю антисим-метрического рассеяния (см. задачу 2 к § 60).
