Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
^ = a2 bf \ 6/"~ <131>18>
В окончательных выражениях для радиационных поправок часто фигурирует трансцендентная функция, определяемая интегралом
«
F( = \ --7--- dx (139,19)
]) Более громоздкое вычисление приводит к такому же результату н при конечном I.
§ 131] ИНТЕГРАЛЫ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ОБЛАСТЯМ 663
(ее называют иногда функцией Спенса). Отметим здесь для справок некоторые ее свойства:
/7(Ю + /7(})=4 + Т1п2^ (131,20)
F(-l) + F(-l+t) = - ^ + \nl\n(l-t), (131,21)
/7(1) = ^. /=’(-1) = --^-. (131,22)
Разложение при малых ?:
V , I3 I4 .
ГЛАВА XIII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 132. Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при больших импульсах
В § 113 был вычислен первый (по а) член разложения поляризационного оператора k2) и было найдено, что при
1 /г21 т2 с логарифмической точностью он имеет вид
0>(k*) = -±k2\n±?±. , (132,1)
Там же было указано, что по смыслу вывода этой формулы (как поправки первого приближения к пропагатору 4jtD-1 =
— k2) предполагается выполненным условие
(132,2)
чем ограничивается применимость формулы со стороны больших \k2\. Покажем теперь, что в действительности выражение
(132,1) остается справедливым и при гораздо более слабом условии
«32,3)
Ход доказательства состоит в следующем1). Прежде всего, замечаем, что хотя при условии (132,3) вклад в k2) может
возникать, в принципе, от членов всех порядков (по а) ряда теории возмущений, но в каждом (n-м) порядке надо учитывать только члены ~ал 1пл(|А2|/т2), содержащие большой логарифм в той же степени, что и а; члены с более низкими степенями логарифма заведомо малы в силу неравенства а< 1.
Далее, исследование ряда теории возмущений для ^ можно свести к исследованию рядов для S и Г^1 с помощью уравнения Дайсона
?{k2) = i-^Sv\y$(p + k)T»(p + k, р; k)9(p)-?fa (132,4)
') Излагаемая постановка вопроса и результаты принадлежат Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосову и И. М. Халатникову (1954).
§ 132] ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР ПРИ БОЛЬШИХ ИМПУЛЬСАХ 665
(см. (107,4)). Поскольку функция 0>(k2) калибровочно-инвариантна, при ее вычислении можно выбрать любую калибровку для величин ^ и Г. Наиболее удобна для этой цели калибровка Ландау, в которой пропагатор свободных фотонов имеет вид (76,11):
^vW = 7^v-x) <132’5)
(?>(0 = о в (103,17)). Оказывается, что в такой калибровке ряды теории возмущений для ^ и Г11 вообще не содержат членов с нужными степенями логарифмов. Поэтому в (132,4) достаточно подставить для S и Г^1 их нулевые приближения: S’ = G, = у1*. Тогда выражение (132,4) сводится к интегралу
д> (?2) = i iEL Sp ^ y„G (p + k) y»G (p) . (132,6)
Это — интеграл Фейнмана, отвечающий диаграмме (113,1) первого (по а) приближения, который и приводит (после соответствующей перенормировки) к формуле (132,1).
Приступая к доказательству сделанных утверждений, проследим прежде всего за происхождением логарифма в интеграле (132,6). Легко видеть, что логарифмический член возникает от области интегрирования
р2 » | k21 при | k21 » т2. (132,7)
Действительно, формально разлагая G по степеням 1 /ур, имеем
G(p)*s-L=w.,
vr/ ур рz
G(p — k) ~------ —г- « ——|—— ——|—— yk — yk — —
r yp — yk УР УР УР УР yp yp
__ УР I (yp) (Y*) (yp) I (yp) (yk) (yp) (y*) (yp)
p2 r (p2)2 -1- (p2)3
При подстановке в (132,6) первый член, не зависящий от к, выпадает в результате регуляризации (в соответствии с условием ^/&2->-0 при k2->-0). Второй член обращается в нуль при интегрировании по направлениям р. Третий же интеграл логарифмически расходится по р2; взяв его в пределах от р2~\к2\ (нижний предел области (132,7)) до некоторого вспомогательного «параметра обрезания» Л2, получим
-!rw"wr- (132'8>
Для регуляризации следует вычесть из ^/й2 его значение при k2 = 0. Но поскольку логарифмическая точность предполагает условие \k2\ m2, при вычислении с этой точностью регуляри-
666
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[ГЛ. XIII
зация осуществляется вычитанием значения при \k?\ ~ т2, в результате чего А2 в аргументе логарифма заменяется на т2 и мы приходим к (132,1).
Так как интересующие нас поправки в S и 1> имеют логарифмический характер, то с их учетом ^ и Г1* будут отличаться от G и f медленно меняющимися логарифмическими множителями. Поэтому и в точном интеграле (132,4) будет существенна та же область (132,7), что и в приближенном интеграле (132,6). Тем не менее положить просто k = 0 в 1>(р + &, р; k) нельзя: ввиду квадратичной расходимости интеграла его регуляризация требует рассмотрения также и двух следующих членов разложения Г^(p-j-k, р; k) по степеням к. Мы, однако, ограничимся здесь обсуждением поправок к Т^(р, р,0), достаточно ясно демонстрирующим роль выбора калибровки и различие в характере интегралов, возникающих от диаграмм разных типов. Отметим также, что в аналогичном исследовании для S нет необходимости, поскольку поправки в Г и S’ связаны друг с другом тождеством Уорда (108,8).
Первой (по а) поправке к Г(р, р; 0) отвечает диаграмма
и соответственно интеграл ')
гм-(1) = — ia ^ yKG {pi) yhg {pi) yvd^ {p -Pl)JlEL, (132,9) В обычной калибровке имеем
