Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
М
<126-2|>
Таким образом, окончательное двойное дисперсионное соотношение «с вычитанием»:
М
iS' п‘ \ \ (У - <4 и' - О '.'I' dS d! ^
<126-22>
Если значения s, t сами лежат в области интегрирования, то интегралы (126,21—22), как всегда, надо понимать как предел при
s —> s -|- /0, t —> t -j- /0. (126,23)
630
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
§ 127. Рассеяние фотона на фотоне
Рассеяние света на свете (в вакууме) является специфически квантовоэлектродинамическим процессом; в классической электродинамике оно отсутствует из-за линейности уравнений Максвелла ’).
В квантовой электродинамике рассеяние фотона на фотоне описывается как результат рождения двумя начальными фотонами виртуальной электрон-позитронной пары и последующей аннигиляции этой пары в конечные кванты. Амплитуда этого процесса (в первом неисчезающем приближении) изображается шестью «квадратными» диаграммами со всеми возможными относительными расположениями их четырех концов. Сюда относятся диаграммы
(127,1)
и еще три диаграммы, отличающиеся от этих лишь изменением направления обхода внутренней электронной петли. Вклад этих последних совпадает с вкладом диаграмм (127,1), и потомупол-ная амплитуда рассеяния
Мп = 2 (М<“> + М<б> + ММ), (127,2)
где М(а), М(б), М<э) — вклады диаграмм а), б), в).
Согласно (64,19) сечение рассеяния
da ¦
1
64я2
do'
(127,3)
(2со)2 ’
где do' — элемент телесных углов для направления к' в системе центра инерции. Угол рассеяния в этой системе обозначим 0.
Инвариантные амплитуды
Выделив поляризационные представим Mfi в виде
М ---------Д/f
IY1fi 12 3 с4 'VifaAVp
множители четырех фотонов,
(127,4)
‘) В предельном случае малых частот этот процесс был впервые рассмотрен Эйлером (Н. Euler, 1936), а в ультрарелятивистском случае—• А. И. Ахиезером (1937). Полное решение задачи дано Карплусом и Нейма-ном (R. Karplus, М. Neumann, 1951),
§ 127] РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ 631
4-тензор Afj^vp (его называют тензором рассеяния фотона на фотоне)— функция 4-импульсов всех фотонов. Если написать аргументы функций со знаками, отвечающими одинаковым направлениям внешних концов диаграммы, то в силу симметрии совокупности диаграмм (127,1) очевидно, что тензор
^K\ivp (^Ь ^2> —" К ^4)
будет симметричен по отношению к любым перестановкам четырех аргументов вместе с одновременной такой же перестановкой его четырех индексов. В силу калибровочной инвариантности амплитуда (127,4) не должна меняться при замене е->-е+. + const-k. Другими словами, должно быть [;
kiM^ ра = АШщ ра = ... =0. (127,5)
Как легко сообразить, отсюда следует, в частности, что разложение тензора рассеяния по степеням 4-импульсов ku k2, ... должно начинаться с членов, содержащих четверные произведения их компонент. Тем самым во всяком случае
AfMvp(0, 0, 0, 0) = 0. (127,6)
Для конкретного выделения инвариантных амплитуд целесообразно, однако, с самого начала выбрать определенную калибровку 4-векторов поляризации е—калибровку, в которой
ef = (o, е,), е? = (0, е2), ... (127,7)
Тогда
Mfi = Mik[meue2ke3leim, (127,8)
где Мшт — трехмерный тензор.
В качестве двух независимых поляризаций выберем для каждого из фотонов круговые поляризации с противоположными направлениями вращения, т. е. два спиральных состояния со спиральностями Я = ±1. После этого тензор Мшт можно представить в виде
МШт=.Ъ, (127>9)
Л1Л2Л3Л4
16 величин являются функциями от s, t, и и играют
роль инвариантных амплитуд; не все они, однако, независимы.
Величины — трехмерные скаляры. Пространствен-
ная инверсия меняет знак спиральностей; инвариантные же пе-
632
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
ременные s, t, и остаются неизменными. Поэтому требование Р-инвариантности приводит к соотношениям
Мхмл (s, t, и) — t, и). (127,10)
Обращение времени переставляет начальные и конечные фотоны, не меняя их спиральностей; переменные s, t, и снова остаются неизменными. Поэтому требование 7’-инвариантности приводит к равенству
t, и) = (s, t, и). (127,11)
Наконец, еще одно соотношение является следствием инвариантности амплитуды Mfi относительно перестановки двух начальных или двух конечных фотонов. Если произвести сразу обе перестановки (й, <-+ lt2, k4), то переменные s, t, и не изме-
нятся, а перестановка в поляризационных индексах приведет к соотношению
t, и) = (s, t, и). (127,12)
Легко убедиться, что в силу свойств симметрии (127,10—12) число независимых инвариантных амплитуд сводится к пяти; в качестве них можно, например, выбрать
М+ + ++, -М++—, м+_+_, М+—+, м+ + + _
(индексы «+»> «—» означают спиральности 4-1 и —1).
Если подставить в (127,3) вместо Mfi одну из амплитуд ¦МаДцЯл. то мы получим сечение рассеяния с заданными поляризациями начальных и конечных фотонов. Сечение же, просуммированное по конечным и усредненное по начальным поляризациям, получится заменой
I Mfi |2->V4{2|iVI+ + + +|2 + 2|M+ + — |2 + 2|М+_ + _р +
+ 2| /И+—+ |2 + 8| Л4+ + + _ р}. (127,13)
Соотношения симметрии (127,10—12) связывают между собой различные инвариантные амплитуды как функции одних и тех же переменных. Дальнейшие функциональные соотношения возникают как следствие перекрестной симметрии (см. § 78), если учесть, что амплитуда Mfi во всех каналах описывает одну и ту же реакцию (взаимное рассеяние двух фотонов) и потому не должна меняться при переходе от одного канала к другому.
