Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Задачи
1. Определить сечение рассеяния поляризованных электронов в нерелятивистском случае.
Решение. В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды в стандартном представлении становятся двухкомпонентными, а матрицы плотности— двухрядными матрицами (29,20). В амплитуде рассеяния (81,3) остаются отличными от нуля лишь члены с ц = v = 0, содержащие диагональные (в стандартном представлении) матрицы Y0- Вместо (81,4) будем иметь
? |Mf/|2=16JiV.4m< {(тг + -^г) Sp (1 +o?i) Sp(l + <j?2) —
поляр
- ~ Sp (1 -f °?i) (1 + «Ц = 16nV • 4m* ¦ 4 [-±- + - -1-(1 + SiSs)]
(суммирование по поляризациям конечных электронов). Отсюда сечение рассеяния
rfq=rfq°(i-1 +S13'LW
где 0 — угол рассеяния в системе центра инерции, do0 — сечение для непо-ляризованных частиц (81,9). Для полностью поляризованных электронов эта формула совпадает с результатом задачи в III, § 137 (при этом |?i| = = |?г| = 1, ?ib = cos а, а — угол между направлениями поляризации электронов).
Для рассеяния позитронов на электронах поляризационная зависимость в том же приближении отсутствует (da — diJ0); в этом легко убедиться, заметив, что в нерелятивнстском пределе в электронных и позитронных амплитудах ир и U-p отличны от нуля различные пары компонент.
2. В нерелятивистском случае определить поляризацию рассеянных электронов при рассеянии неполяризованного пучка на поляризованной мишени.
Решение. Вычисляем сечение рассеяния при заданных начальной поляризации и детектируемой конечной поляризации (детектируется
§ 811 РАССЕЯНИЕ ЫА ЭЛЕКТРОНЕ 373
поляризация лишь одного из конечных электронов). Тем же способом, что и в задаче 1, получим
1 , Г1 у'у 2 cos 9(1 — cos 9)1
2 Ч 1 + 3 cos2 9 J’
Отсюда для вектора поляризации рассеянного электрона имеем f.ffj ^ 2 cos 9 (1 — cos 9)
61 1 + 3 cos2 9 •
3. В нерелятивистском случае определить вероятность обращения направления спина полностью поляризованного электрона при рассеянии на не-поляризованном электроне.
Решение. Аналогичным образом находим сечение при заданных по-ляризациях gj и
, 1 . ГI I I- у' 2 cos 9 (1 + cos 9) 1
d° = -2d°o[ 1+6^, t + 3 cos29 }
Положив = —1, найдем отсюда вероятность обращения направления спина:
da (1 — cos 9)2
~do7~ 2(1 + 3 cos2 9) *
4. Определить отношение сечений рассеяния спиральных электронов с
параллельными и антипараллельными спинами в ультрарелятивистском
случае.
Решение. В (81,4) надо положить согласно (29,22)
Pi = 4" (YPi) (1 — 2A,y5), Pz = -у (\Рг) (1 —
г \ г г \ г
Pi = -jrYPi. P2 = -2_YP2.
где Я,1, Хг = ±Уг- Вычисление следов производится по приведенным в § 22 формулам; в частности,
Sp[v5(Yfl) Vй (Yb) Yv] Sp [v5(vc) Yn(Yd) Yv] =
= i2 (e^a0bx) (W^ = 2 (6^ - 6&) apbxcV =
= 2 (ac) (bd) — 2 (ad) (be).
В результате получим da ( s2 + и2 t s2 +12 , 2s2 ^ , ( s2 — u2 , s2 — t2 , 2s2
ЧГ"
(s‘ + u* , s* + t2 , 2s2 \ , / s ” и , s*-t2 , 2s2 \
'°° { t2 + ~iT2 +nr)+ ki 2 { ~ + ~2 +~nr)-
Поскольку импульсы сталкивающихся электронов (в системе центра инерции) взаимно противоположны, то одинаковым спиральностям (Aj = Хг) отвечают антипараллельные спины, а различным спиральностям (Aj = —Х2) — параллельные спины. Подставив s, t, и из (81,8) (причем р2 яа е2), найдем для искомого отношения
-5—- = 4- (1+6 cos2 9 + cos4 9). (1)
¦И
Это отношение минимально (Vs) при 0 = п/2.
374 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [ГЛ. IX
5. То же для рассеяния позитронов на электронах.
Решение. В этом случае вместо (81,4) надо вычислять
| Мп j2 -> 1бя2е4 Sp (p~V*p_Yv) SP (p+Y|*P+Yv) ~
“ 77 Sp (р-y Vyvp+YhP+yv) + • • •}
(остальные члены получаются из написанных перестановкой р + и pi). Матрицы плотности:
Р- = 4" (VP_) О - 2^_Ys). Р+ = -f (YР+) (1 + 24YS).
г 1 Г /If
Р- = *2"YP-* Р+=-у YP+.
где Х+1 = ±Va (причем для позитрона, как и для электрона, = 7г
означает спин, направленный по его импульсу). Вычисление дает
_ ( S2 + и2 , 53 + /3 , 2s2 \ „ ( S2 — иг , S2 — /2 , 25s \
Отсюда для отношения сечений получается результат, совпадающий с формулой (1) задачи 4.
6. Определить сечение рассеяния мюонов на электронах.
Решение. Процесс описывается всего одной диаграммой (73,17). Вместо (81,5) имеем
. я е4 dt 4яе* dt ... . ...
(РеРц.)2 — т!ц2 (,и ~ [s — (т + ц)2] [s — (т — ц)2] ^
f (<> «) = “fgvF Sp [(Yp^ + n) Y* (YPn + I1) Yv] Sp [(yp'e + m) (ype + m) \v]
(Pe> Рц и Ре’ р'ц~ начальные и конечные 4-импульсы электрона и мюона; т, ц —их массы). Инварианты:
s = (Pe + Рц)2 = т2+\12 + 2pepw
t = {pe- Ре)2 = 2 (т2- рере) = 2 (|Х2 - р^р'),
и = {Ре~ р'чТ = т2 + |Х2 - 2рер', s + / + и = 2 (т2 + ц2).
Вычисление приводит к результату
f “ 1Г {(РеРм.)2 + (РеР^)2 + j (т2 + И2) =
= -J? {-S"~2 + (m2 + Iх2) (2t —m2 — |X2)|. (2)
Формулы (1) и (2) решают поставленный вопрос. В системе центра инерции
?Q
d° = Т(Те + е^)2 р4 sin4 (0/2) 1(8^ + р2)2 + ^ + Р2 cos 0)2 “
— 2 (гп2 + ц2) р2 sin2 (6/2)],
РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ
375
2 2 2
где do = 2к sin 0 dQ) ее, — энергии электрона и мюона; р = ве — т =* =• е2—ц2. При р2<^ц2 мы возвращаемся к формуле (80,9) для рассеяния на неподвижном кулоновом центре. В ультрарелятивистском случае (Р2 > И2)
