Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
<V4S/IU = ^(-lfa~*6~*c<-^, -MS'I-U (69,13)
Ча
'(здесь использован наряду с (69,4) также и закон преобразования волновой функции одной частицы (16,16)).
Когда первичная частица истинно нейтральна, дальнейшие ограничения возникают, если сохраняется G-четность. Здесь надо различать три случая. Если продукты распада тоже истинно нейтральны, то должно быть Са = СьСс\ это условие либо запрещает распад вовсе, либо удовлетворяется, не приводя к новым ограничениям. Если частицы b и с вообще различны, то С-инвариантность устанавливает соотношение между амплитудами различных процессов: а->-й + с и а->-5 + с. Наконец, для распада а-^b + Б возникает ограничение, связанное с тем, что при заданной зарядовой четности С и заданном полном моменте / = sa система может находиться лишь в состояниях либо симметричных, либо антисимметричных по спиральностям — в зависимости от четности числа J и знака С.
CP-инвариантность приводит к равенству амплитуд распадов а-+ b с и а^>-Б с:
(KK\sJ\K) = (h^\sJ\K) (69.Н)
причем Ха = — Ха, . ¦ ¦), т. е. к равенству вероятностей распада частицы и античастицы. Если частица может распадаться различными способами (по разным каналам), то это равенство относится к каждому из каналов. Подчеркнем, однако, что этот результат предполагает соблюдение CP-инвариантности, не яв-, ляющейся универсальным свойством природы. Универсальный характер имеет лишь СРГ-инвариантность; это требование само по себе привело бы лишь к равенству
<44S'IV>=<45'IW-
в котором правая сторона относится к процессу, обратному распаду. Мы увидим ниже (см. § 71), что условие СРГ-инвари-антности вместе с требованиями унитарности все же приводит к некоторому, хотя и более ограниченному соотношению для вероятностей распада частицы и античастицы.
Задачи
1. С помощью (69,6) получить классификацию возможных состояний системы двух фотонов.
Решение. В этом случае Аь = ± 1. При четных J (J > 0) согласно (69,6) допускаются три симметричных по ХДг состояния:
а) Ф/М11’ б> в> W-l + ’l’/M-ll.
312
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII
При нечетных / (/ > 1) допускается одно антисимметричное состояние:
г) ’Ьлп-! ~ '•’/Af—11-
Состояния в) и г) обладают в то же время определенной (+1) четностью: согласно (69,4)
Р (Ф/MI-I ± Ч’/М-и) = ± (-1)7 («/MI-I =*= Ч’/М-п):
множитель ±(—I)7 = 1. так как верхний знак относится к четным, а нижний — к нечетным значениям /. Состояния же а) и б) сами по себе не обладают определенной четностью, но, составив из них комбинации
а) ’Ьлш + ’t’/M-i-i* б ^ ’Ьлш ~
мы получим четные и нечетные состояния. При / = О допускаются (в связи с условием |A,i — Лэ| ^/) лишь А,! = Х% так что состояние в) выпадает, и остаются лишь одно четное и одно нечетное состояния а') и б'). Наконец, при / = 1 единственное допустимое при нечетных / состояние г) запрещено, так как для него X = 2 > /. Таким образом, мы приходим к таблице допустимых состояний (9,5).
2. В нерелятивистском приближении полный момент системы / есть результат сложения спина 5 и орбитального момента L. Для системы двух частиц найти связь между состояниями \JLSM) и |/Л1ЯД2>.
Решение. Согласно правилу составления волновых функций при сложении моментов имеем
^JLSM= Е (V, fSArs>} I JM)- W
Здесь i|)sa — собственные функции спина s с проекцией а (на фиксированную ось z), ~ то же для орбитального момента L с проекцией Aft;
выражение в скобках отвечает сложению S| и s2 в S, после чего S складывается с L в /; суммирование — по всем m-индексам. Выразим все функции в импульсном представлении как функции направления п (импульса р = рО, причем функции выразим с помощью III (58,7) через функции спиральных состояний фп^:
Ф».а, = Е Dt'l (п) 4W
Фзд- Е -V
^2
Для функции же фимеем
Фlml = ylml (п) = iL д/ DmL (")
(использованы III (58,25) и определение (16,5)). Подставив эти функции в (1), воспользуемся дважды разложением 111(110,1), а также свойством ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана III (106,13). В результате получим в виде разложения
Е Ф/ЛМД* I (2)
Я1Я2
где
Ф/ММ* = 't’njA, (п) д/ 4^ Л \ ~ ^2’
ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ
313
а коэффициенты (JM\t\2\JLSM) =
_(-o‘(-i)*-'+sV№+ 1><и+1>(? X -л) (о л -л)-
(3)
В силу унитарности преобразования (2)
(JLSM | JMXik2) = (]МХхХг | /LSiW)*.
§ 70. Инвариантные амплитуды
В спиральных амплитудах используется определенная система отсчета — система центра инерции. Между тем при вычислении амплитуд рассеяния с помощью инвариантной теории возмущений (а также для исследования их общих аналитических свойств) удобно записывать амплитуды в явно инвариантной форме.
Если частицы, участвующие в реакции, не имеют спина, то амплитуда рассеяния зависит только от инвариантных произведений 4-импульсов частиц. Для реакции вида
a “I- Ь —> с -|- d (70,1)
в качестве этих инвариантов можно выбрать какие-либо две из
определенных в § 66 величин s, t, и. Тогда амплитуда рассеяния
СВОДИТСЯ К ОДНОЙ фуНКЦИИ Mfi = f{s, t).
Если же частицы обладают спинами, то, помимо кинематических инвариантов s, t, и, существуют также инварианты, которые можно составить из волновых амплитуд частиц (биспиноров, 4-тензоров и т. п.). Амплитуды рассеяния должны тогда иметь вид
