Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
диффузия и теплопроводность [гл. xiv
Укажем для примера значения коэффициента теплопроводности некоторых жидкостей и твердых тел (при комнатной температуре). Эти значения даны в единицах дж/см -сек ¦град (другими словами, тепловой поток определяется как энергия в джоулях, переносимая в 1 сек через 1 см2):
Вода.......6,0-10-3 Свинец .... 0,35
Бензол......1,5-Ю-з Железо .... 0,75
Стекло......4—8-10~3 Медь.....3,8
Эбонит ............1,7-1U~3 Серебро .... 4,2
Обращает на себя внимание очень большая теплопроводность металлов. Причина этого заключается в том, что в металлах, в отличие от других тел, тепло переносится тепловым движением не атомов, а свободных электронов. Большая эффективность электронной теплопроводности связана с большими скоростями электронов, порядка IO8 см/сек, т. е. гораздо большими, чем обычные тепловые скорости атомов и молекул (IO4—IO5 CMjсек).
§110. Теплосопротивлеиие
Написанное выше простое соотношение между тепловым потоком и градиентом температуры дает возможность решать различные задачи, относящиеся к явлению теплопроводности.
Рассмотрим слой вещества (толщины d), заключенный между двумя параллельными плоскостями; площадь каждой из них обозначим через S. Предположим, что эти граничные плоскости поддерживаются при различных температурах T1 и T2 (пусть T1^T2). Коэффициент теплопроводности вещества зависит, вообще говоря, от температуры. Мы, однако, будем считать, что разность температур T1 и T2 не слишком велика, так что изменением коэффициента теплопроводпости по толщине слоя можно пренебречь и считать величину и постоянной.
Выберем ось X вдать толщины слоя, причем координату х будем отсчитывать от плоскости T1. Очевидно, что в слое установится такое распределение температуры, при котором последняя будет зависеть только от X. При этом через слой вещества будет распространяться тепловой поток по направлению от плоскости T1 к плоскости T2. Найдем связь§ ПО]
теплосопротивление
347
между этим потоком и вызывающим его перепадом температуры T1-T2.
Полный поток тепла Q, проходящий за 1 сек через все сечение слоя (параллельное граничным плоскостям), равен произведению qS потока q через единицу площади на полную площадь S сечения. Вспомнив связь q с градиентом температуры, напишем
Q = -KSdJ-.
dx
Очевидно, что поток Q не зависит от х. Действительно, тепло по дороге через слой нигде не расходуется и не появляется извне; поэтому полное количество тепла, проходящего за 1 сек через любую поверхность, пересекающую весь слой, должно быть одинаково. Поэтому из написанного уравнения следует, что
T = — X + const,
т. е. температура меняется вдоль толщины слоя по линейному закону. При х=0, т. е. на одной из граничных плоскостей, должно быть T=T1; отсюда находим, что const = Tu т. е.
На другой граничной плоскости (x=d) должно быть T=T2, т. е.
Отсюда
Q = -(T1-T2).
Этой формулой и определяется искомая связь между потоком тепла Q и разностью температур на границах слоя.
Рассмотрим теперь слой вещества, ограниченный двумя концентрическими сферами (с радиусами г1 и г2), поддерживаемыми при температурах T1 и T2; рис. 1 изображает экваториальный разрез слоя. Температура в каждой точке внутри слоя зависит, очевидно, только от расстояния г до центра сфер.348
диффузия и теплопроводность
[гл. XIV
Поскольку единственной координатой, от которой зависит в данном случае температура, является г, тепловой поток q везде направлен вдоль радиусов и равен
dT
Полный же поток тепла через шаровую поверхность с радиусом г, концентрическую с обеими сферами и лежащую
между ними, равен
Q = 4 яr2q = — 4 ляг2 откуда
dT Q
dT dr
dr
4якг2
По тем же причинам, что и в предыдущем случае, полный поток тепла через любую замкнутую поверхность, охва-Рис. 1. тывающую внутренний шар,
должен быть одинаковым; поэтому Q не зависит от г. Из написанного уравнения теперь находим
Постоянное слагаемое определяется условием T=T1 при г= гх, так что
r = Tl+JL (±_±
1 1 4 як V г г\
Наконец, из условия T=T2 при г=г2 получим следующее соотношение между полным потоком тепла и разностью температур на границах слоя:
(T1-T2)Any.
Q = '
В частности, если г2=ос, т. е. если вокруг шаровой поверхности радиуса гх мы имеем неограниченную среду (T2 есть в этом случае температура на бесконечности),§ НО]
теплосопротивление
349
выражение для потока тепла приобретает вид Q = Anxr1(T1-T2).
Отношение разности температур на границах тела к полному тепловому потоку называется теплосопротивле-нием тела. Из полученных формул видно, что теплосопро-тивление для плоского слоя равно
Совершенно аналогичные результаты относятся, очевидно, и к диффузии в растворе, ограниченном двумя плоскостями или двумя шаровыми поверхностями, на которых поддерживаются определенные концентрации. В предыдущих формулах надо только вместо температуры писать концентрацию, вместо теплового потока — диффузионный и вместо к — коэффициент диффузии D.
Применим полученные формулы к вопросу о быстроте плавления. Представим себе кусок льда, погруженный в воду с температурой T1 выше 0° С. Поскольку равновесие льда с водой возможно (при атмосферном давлении) лишь при вполне определенной температуре T0=Oo С, то непосредственно прилегающий ко льду слой воды будет иметь именно эту температуру. По мере же удаления от льда температура воды повышается, стремясь к заданному значению T1. Из воды ко льду будет распространяться тепловой поток. Достигая льда, тепло поглощается в нем в виде теплоты плавления, необходимой для превращения льда в воду. Так, если кусок льда имеет шарообразную форму (радиуса г0), то в единицу времени он получит из окружающей его воды (которую рассматриваем как неограниченную среду) количество тепла