Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
где K = a + i? — один из двух корней третьей кратности векового уравнения
а числа о, т отличны от нуля, а в остальном произвольны. Этот произвол возникает в силу произвольности числа X и является следствием изотропности векторов Wa, Wa. Можно, например,
1 3
предполагать, что о и т — вещественные числа.
Решая эту систему, а также имея в виду условия
з з
2 esmss = K, ^e8Hss = Oj
8=1 S=I КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 229
нетрудно убедиться, что T = 2а, ? = 0, будет иметь вид
а =
-у, а матрица || i?a? ||
-а 0 0 ~а 0 0
0 0 -у о
а О
О О
О —а
(A«?) -
(33)
О 0 0| О О —а а
О О —а а I О О —а OO О ~
а О
где о — любое вещественное число, отличное от нуля; репер определяется с точностью до вращения в двумерной площадке
Таким образом, как итог, получается следующая теорема.
Теорема. Существуют три принципиально различных типа полей тяготения:
1-й тип с характеристикой K-матрицы простого типа [111,1 1 1]; для него в каждой точке T14 однозначно определяется вещественный ортогональный репер, относительно которого матрица И Ra? Il имеет вид (23) при условиях (24), (25)^
2-й тип с характеристикой непростого типа [21,2 1]; для него репер определяется с двумя степенями свободы, а матрица 11 i?a? 11 имеет вид (29) при условиях (30).
3-й тип также имеет характеристику непростого типа [3,3]; репер также имеет две степени свободы, а матрица II Il — вид (33).
Здесь надчеркнутые в характеристиках числа означают показатели степеней тех элементарных делителей, которые имеют базисы, комплексно-сопряженные, соответствующие ненадчеркнутым числам.
Три указанных типа допускают, очевидно, дальнейшую, более детальную, классификацию. Например, можно выделить случаи кратных или вещественных корней, как это и делалось нами ранее. Этот результат, полученный мною в 1950 г., был впервые опубликован в 1951 г. [1]. В этой статье имеется неточность в формулировке. Доказательство 3-й теоремы § 2 было дано также А. П. Hop-деном в 1952 г. (в печати не опубликовано), который исходил 230 А. З. Петров
из исследуемых им биаффинных пространств. Приводимое здесь доказательство представляет собою третий вариант и является, по-видимому, наиболее простым.
Относительно исследования, проведенного в § 3, т. е. определения канонического вида матрицы (i?a?) для ортогонального неголономного репера, необходимо сделать следующее примечание. На первый взгляд задачу можно было бы решать так: поскольку известна характеристика матрицы || Ra$ — Kga$ ||, казалось бы, возможно сразу выписать канонический вид этой матрицы на основании общей алгебраической теории [6]. Однако этого сделать нельзя, так как в качестве коэффициентов допустимых линейных вещественных преобразований мы можем брать лишь числа вида
Aa' — ОЛІЇ
-^1 а — ^-H-IJ ,
| ., / Qxif \
где Al = у -Q^c) — коэффициенты некоторого вещественного ортогонального преобразования в данной точке P многообразия T4. То есть мы можем пользоваться только преобразованиями некоторой подгруппы всей группы ортогональных вещественных преобразований 6-мерного пространства.
Этот факт, делающий необходимыми рассуждения § 3, является в данном случае очевидным и представляет собой конкретное приложение общей теоремы, доказанной Г. Б. Гуревичем [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Петров A. 3., О пространствах, определяющих поля тяготения, ДАН СССР, т. XXXI, 149-152 (1951).
2. Ландау JI., Лифшиц EТеория поля, М.—JI., 1941, с. 263—268. (См. также Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, «Наука», M., 1973, стр. 296—300.— Прим. ред.)
3. Каган В. Ф., О некоторых системах чисел, к которым приводят лорен-цевы преобразования, Изд. 1 МГУ, 1926, с. 1—24.
4. Дубнов Я. С., О симметрично-сдвоенных ортогональных матрицах, в книге: Каган В. Ф., О некоторых системах чисел, к которым приводят лорен-цевы преобразования, Изд. 1 МГУ, 1927, стр. 33—54.
5. Лопшиц A. M., Векторное решение задачи о симметрично-сдвоенных матрицах, Труды Всероссийского съезда математиков в Москве в 1927 г., М.—Л., 1928, 186, 187.
6. Петров А. 3., К теореме о главных осях тензоров, Известия Казанск. физико-математ. общества, т. 14, стр. 43 (1949).
7. Гуревич Г. Б., О некоторых линейных преобразованиях симметрических тензоров или поливекторов, Мат. сб., 26, 463 (1950). «Группа общей теории относительности впервые приводит к тому, что наиболее простой инвариантный закон уже не будет линейным и однородным в переменных поля и их производных. Это — обстоятельство фундаментальной важности, и вот по какой причине. Если уравнения поля линейны (и однородны), то сумма двух решений снова будет решением; это имеет место, например, для максвелловских уравнений поля в пустом пространстве. В такой (линейной) теории уравнений поля недостаточно для вывода закона взаимодействия между объектами, которые описываются (каждый в отдельности) решениями системы уравнений поля. Поэтому в прежних теориях необходимы были наряду с уравнениями поля особые уравнения, определяющие движение материальных объектов под действием поля. Правда, первоначально в релятивистской теории тяготения постулировался наряду с законами для поля и независимо от него также и закон движения (геодезическая). Но впоследствии выяснилось, что не нужно, да и нельзя, вводить закон движения независимо, а что он неявно содержится в законе для поля тяготения. Сущность этого, довольно сложного положения вещей можно представить себе более наглядно следующим образом. Одна-единственная неподвижная материальная точка изображается полем тяготения, которое конечно и регулярно везде, за исключением того места, где находится сама материальная точка; в этом месте поле имеет особенность. Если же путем интегрирования уравнений поля вычислить поле, соответствующее двум неподвижным материальным точкам, то оно будет иметь, помимо особенностей в материальных точках, также и особенную линию, соединяющую материальные точки между собой. Но можно задать движение материальных точек так, чтобы определяемое ими поле тяготения вне материальных точек нигде не имело особенностей. Это будут как раз те движения, которые в первом приближении описываются законами Ньютона. Таким образом, можно сказать: массы движутся так, что уравнения поля допускают решения, не имеющие особенностей в пространстве вне масс. Это свойство уравнений тяготения непосредственно связано с их нелинейностью, а она в свою очередь обусловлена более широкой группой преобразований».
