Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения, за исключением уравнений гравитационного поля, следует сформулировать так, чтобы они были ковариантны относительно произвольных преобразований. Такое исключительное положение уравнений гравитационного поля связано, по нашему мнению, с тем, что они могут содержать лишь первые две производные от составляющих фундаментального тензора.
Для составления упомянутых систем уравнений требуется вспомогательный аппарат — обобщенный векторный анализ в том виде, в каком он излагается в части II настоящей работы.
Мы ограничимся пока тем, что укажем, как этим способом получить уравнения электромагнитного поля в вакууме х). Мы исходим из того, что электрический заряд следует рассматривать как нечто неизменное. Пусть произвольно движущееся тело с бесконечно малой массой имеет заряд е и объем dV0 (покоящийся объем) в системе, движущейся вместе с телом. Определим истинную плотность электрического заряда как e!dV0 = р0; по определению она является скаляром. Поэтому
Po^ (v = l. 2, 3, 4)
есть контравариантный 4-вектор, который мы сейчас преобразуем, определив плотность электрического заряда р в данной координатной системе равенством
Po dv0 = P dV. Воспользовавшись соотношением из § 4
dV0ds = y~^g dV-dt,
получим
dxv_ 1 dxv
т. е. контравариантный вектор плотности электрического тока.
Электромагнитное поле мы сведем к контравариантному тензору второго ранга Cpliv специального вида (6-вектору) и образуем «дуальный» контравариантный тензор второго ранга (pjjv по методу, изложенному в § 3 части II [формула (42)]. Дивергенция этого контравариантного тензора второго ранга, согласно формуле (40) § 3 части II, есть
T=S &V—I«*.).
V V
1J См. в связи с этим также стр. 23 (§ 3) работы Коттлера [Kottler F., Uber die Raumzeitlinien der minkowskischen Welt, Wien, Berlin, 1912, 121].
9-0919 130 А. Эйнштейн, M. Гроссман
Обобщением уравнений Максвелла — Лоренца будут уравнения
= (23)
V
2^(1/^^) = 0 (24)
V
(dt — c&z4), ковариантность которых очевидна. Если ввести обозначения
V-g-Ф23=&» У — 1/^-912=^2,
У^-Фн = -S*, У^І-ФЙ = — У^-Фза= —
йгсц
P^f
то система уравнений (23) в более подробной записи примет вид
д$г д§у д%х = -¦ ду dz dt X1
д®х foy . a®g = n
da; ^ dz
Эти уравнения с точностью до выбора единиц совпадают с первой группой уравнений Максвелла. Для получения второй группы уравнений Максвелла необходимо сначала принять во внимание, что к составляющим
б*, —©ос, —@г/, —@z
тензора У — g-фм/у принадлежат компоненты дополнения f?v [часть II, § 3, формулы (41а)]
-(Six., — (Sj,, — ®2,
В отсутствие гравитационного поля отсюда получается вторая группа, т. е. уравнение (24) может быть записано в виде
__1 д$х ^ 0
дх "1^ dz C2 dt ~ '
____Lil*__LdJk = o
с2 dx с2 ду с2 dz
Тем самым показано, что полученные выше уравнения обобщают уравнения обычной теории относительности. ПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 131
§ 7. МОЖНО ЛИ СВЕСТИ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ К СКАЛЯРУ?
Ввиду бесспорной сложности изложенной выше теории гравитации необходимо со всей серьезностью поставить вопрос О TOMr является ли разумной и оправданной только та точка зрения, которая высказывалась до настоящего времени и согласно которой гравитационное поле сводится к скаляру. Кратко разъясним причины, почему ответ на этот вопрос должен быть, по-видимому г отрицательным.
Для сведения гравитационного поля к скаляру необходимо следовать по пути, совершенно аналогичному тому, которому мы следовали выше. В качестве уравнений движения материальной точки в форме Гамильтона следует взять
где ds — четырехмерный элемент длины в обычной теории относительности и Ф — скаляр, а затем следует продвигаться дальше в полной аналогии с вышеизложенным, но не выходя за пределы обычной теории относительности.
Любой материальный процесс и в этом случае характеризуется тензором энергии-натяжений Tliv. Однако при этом взаимодействие между гравитационным полем и материальной системой определяется скаляром. Этот скаляр, как указал Лауэ, может быть только вида
и мы будем называть его «скаляром Лауэ». В этом случае можно до известной степени оправдать закон эквивалентности инертной и тяжелой масс. Лауэ обратил внимание на то, что для замкнутой системы выполняется равенство
Отсюда видно, что, согласно этой точке зрения, тяготение в замкнутой системе определяется ее полной энергией.
Однако тяготение незамкнутой системы зависело бы от натяжений T11 и т. д., которым подвержена система. Отсюда возникают следствия, которые, как будет показано на примере излучения в полости, представляются нам неприемлемыми.
Для излучения в вакууме скаляр P1 как известно, равен нулю. Если излучение заключено в невесомый зеркальный ящик, то стенки ящика испытывают напряжения растяжения; вся система как
целое обладает тяжелой массой j P dx и соответствующей энергией Е.
IiTllil = P,
9* 132 А. Эйнштейн, M. Гроссман
Теперь представим себе, что излучение находится не в полом ящике, а что оно ограничено: 1) неподвижными зеркальными стенками закрепленной шахты S1 2) двумя зеркальными стенками W1 и W21 которые могут двигаться в вертикальном направлении.
