Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Б. Можно положить
(*-2^)/^1-2^ = 0, ?=2^1.
При этом скорость распространения гораздо больше скорости света; однако в некоторых случаях t может быть положительным. '94 А. Пуанкаре
что, как уже было сказано, представляется малоприемлемым. Поэтому мы будем придерживаться гипотезы А.
2. Четыре инварианта (7) должны быть функциями инвариантов (5).
3. Если два тела находятся в абсолютном покое, то X1, Y1, Z1 должны иметь значения, соответствующие закону Ньютона; если же они находятся в относительном покое, то эти значения получаются из уравнения (4).
Согласно гипотезе абсолютного покоя, первые два инварианта (7) должны приводиться к 2 X21, 2 XiX, или» по закону Ньютона, к 1 /г4, — Hr.
С другой стороны, согласно гипотезе А, второй и третий инварианты (5) приводятся к
(-r-2*6)/Vi3Ж2, {-г-IiXDfVT^Yli
т. е. при абсолютном покое к —г, —г.
Мы можем допустить в качестве примера, что два первых инварианта (7) сводятся к
(i-2g)V(r+S*6i)4 и -УП2й/(г + 2*Si).
хотя возможны и другие комбинации.
Необходимо сделать выбор среди этих комбинаций, и, кроме того, нам нужно еще третье уравнение для определения X1, Y1, Z1. Для подобного выбора мы должны стремиться, насколько возможно, не отдаляться от закона Ньютона. Посмотрим теперь, что получается, если пренебречь квадратами скоростей J-, г| и т. д. (полагая по-прежнему t = — г).
Четыре инварианта (5) приводятся тогда к виду
о, -Г-2 Sg1, 1,
а четыре инварианта (7) — к виду
2 Xi (*+&•), S X1(I1-^)1 о.
Однако, для того чтобы иметь возможность сравнить это с законом Ньютона, необходимо другое преобразование; здесь х0 + х, Уо + У, z0 + Z представляют собой координаты притягивающего
тела в момент t0 + t и г =¦ V в законе же Ньютона нужно рассматривать координаты X0 + X1, у0 + ух, Z0 + Zi притягивающего тела в момент t0 и расстояние T1 = У
Мы можем пренебречь квадратом времени t, необходимого для распространения, и, следовательно, поступать так, как если бы О ДИНАМИКЕ ЭЛЕКТРОНА 95s
движение было равномерным. В таком случае получим X = Xi +lit, y = yi + v\it, Z = Z1-K1*, T(T-Ti) = ^xtit
или, так как t= — г,
X = Xi-IiT, JZ = ^1-Tlir, Z = Zi-IiT, T = Ti-^1Xlu
так что наши четыре инварианта (5) станут равными 0, —Ti -f-+ 2 х (Si — —г, 1, а четыре инварианта (7): 2 X21, 2 X1 Ixl +
+ (E-Ei)T1], ^x1(I1-I)9 о.
Во втором из этих выражений мы написали T1 вместо г, потому что г умножено здесь на J- — I1, а квадратом J- мы пренебрегаем.
С другой стороны, по закону Ньютона мы получили бы для этих четырех инвариантов (7)
1 /г}, -IZr1-IS X1(I-I1)IA?,
12(S-Si)IA;. о-
Следовательно, если мы обозначим второй и третий инварианты (5) через А и В, а первые три инварианта (7) — через Af, N, P, то мы удовлетворим закону Ньютона с точностью до членов второго порядка малости, положив
MiWlAB4, N = +А/В2, P = (А - В)/В3. (8)
Это решение не единственно.
В самом деле, пусть С есть четвертый инвариант (5) и пусть С — 1 имеет порядок квадрата J-, так же как и (А — В)2.
Таким образом, мы можем прибавить к правым частям каждого из уравнений (8) величину С — 1, умноженную на произвольную функцию от А, В, С, и величину (А — В)2, также умноженную на функцию от А, В, С.
Уравнение (8) кажется на первый взгляд наиболее простым, но тем не менее оно не может быть принято. В самом деле, так как
М, N, P являются функциями от Z1, Y1, Z1 и от T1= 2 X1I, то из этих трех уравнений (8) можно получить значения X1, Y1, Z1; однако в некоторых случаях эти значения становятся мнимыми.
Для того чтобы избавиться от этого неудобства, поступим следующим образом. Положим
К=1 /У 1-2 S2, A1 = 1/ у 1-2?,
что оправдывается аналогией с обозначением
k = l
фигурирующим в подстановке Лоренца. '96 А. Пуанкаре
В этом случае, а также в силу условия —г = t инварианты (5) приводятся к
О, 4=-A0 (г+ 2 sg), +
C = AbMI-S EEi).
С другой стороны, мы видим, что следующие системы величин:
Ж, у, Z, —Г = ?5
A0Z1, A0Y1, A0Z1, A0Tt1;
А0Е» A0T], А0?, A0;
Ei» ^irIi? Si» A1
подвергаются таким же линейным подстановкам, как и при преобразовании группы Лоренца. Следовательно, мы приходим ж уравнениям:
X1 = X (a/fto) + E? + Ei (A1ZA0) Y» Y1 = V (a/A,,) + ri? + Лі (Ai/Ao) Y> (9)
Z1 = z (a/A0) + S? + bi (VA0) Y> J1 = _r (a/A0) + ? + (A1ZA0)
Ясно, что если a, ?, у — инварианты, то X1, Y11 Z1, Ti удовлетворяют основному условию, т. е. подвергаются вследствие преобразования Лоренца соответствующей линейной подстановке. Но „для того чтобы уравнения (9) были совместны, необходимо, чтобы 2 Z1E -Ti = 0, или, заменяя Z1, Y11 Z1, Ti их значениями из (9) и умножая на AjJ,
—Aa - ? - Cy = 0. (10)
Мы хотим, чтобы при отбрасывании квадратов скоростей E и т. д., а также произведений ускорений на расстояния как малых по сравнению с квадратом скорости света, как мы это делали выше, значения Z1, Y1, Z1 оставались соответствующими закону Ньютона.
Мы можем положить ? = 0, у = —Аа/С. С точностью до приближения принятого нами порядка будем иметь
