Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
*/2}
Ot
= -2 J (^-(8^)).-1./?^^. (3.1.13)
Таким образом, кинетическое уравнение, пригодное для изучения плазмы, имеет вид
^ _ /ш і у . ^ /а) і Qa /у j IvI X В] \ д -(1) д/а
+ Yl и7/а + + —с----/ ~^Г/а
(3.1.14)
здесь (E) и (В) равны сумме внешних и усредненных внутренних полей, они удовлетворяют усредненным уравнениям Максвелла
V- (E) = 4я <рд>,
V X <в> =4 +^<J>.
Правая часть уравнения (3.1.14) связана с влиянием лишь очень небольшого числа близких частиц. Если положить dfIdt |СТолк = О, т. е. пренебречь парными столкновениями, уравнение (3.1.14) превратится в кинетическое уравнение плазмы, называемое уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана. Начиная с гл. 7, мы дадим систематическое построение цепочки статистических уравнений, первым звеном которой является уравнение Власова. Свойства плазмы, следующие из решений уравнения Власова, описаны в гл. 7—10.
В настоящей главе кинетическое уравнение (3.1.14) используется только для построения упрощенного описания плазмы в рамках макроскопических переменных и для установления связи между ними.
§ 2. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ПЛАЗМЫ
Одночастичная функция распределения (3.1.2) дает неполное описание состояния плазмы, однако и она не является измеримой макроскопической переменной, характеризующей поведение либо плазмы, либо нейтрального газа. Макроскопически наблюдаемые величины связаны с различными моментами по скоростям одночастичной функции распределения.
74
ГЛАВА З
2.1. Плотность
Плотность частиц сорта а в точке х конфигурационного пространства в момент времени t дается выражением
п«(х, 0 = j nafa(x, v, t)dv, (3.2.1)
где /а — одночастичная функция распределения (3.1.2) и па = NJV. Поскольку в данной главе используется только одночастичная функция распределения, индекс 1 опущен. Массовая плотность рта и плотность заряда рда определяются таким же образом, т. е.
Pma (х, t) = nama j /а(х, V, t) dx, (3.2.2)
Pga (х, t) = naqa j /а(х, V, t) dx. (3.2.3)
2.2. Поток частиц и средняя скорость
Поток частиц сорта а, пересекающих единичную площадку в конфигурационном пространстве в единицу времени вблизи точки х в момент времени t, записывается в виде
Га (Х, O = V/a(x, V, t) d\ =
=---па(х, t)\a(x, t); (3.2.4)
здесь Va — средняя скорость частиц сорта cz, определяемая выражением у , .. I v/a(*. V1 t)dv п (• , .
У“(Х' j /а (*¦ V, t) dv ) V/“<X’ Т' t)dV- <3'2'5'
2.3. Плотность тока
Плотность электрического тока, создаваемого заряженными частицами сорта а в точке х в момент времени t, равна
Ja (X, O=-^aj v/a dx = QaTa (х, t)=qana(x, t)\a(x, t). (3.2.6)
2.4. Поток тепла
Поток кинетической энергии частиц сорта а, пересекающих единичную площадку в единицу времени в точке х в момент времени t, записывается следующим образом:
Ha (х, t)=±-nama j v(v.v)/a(x, v, it) dx. (3.2.7)
2.5. Тензор давления
Тензор давления частиц сорта а в точке х в момент времени t записывается в виде
Pa(x, t) = пата j (V —Va) (v—Va)/а (х, V, t) dx. (3.2.8)
В случае сферически-симметричного распределения по скоростям он сво-
дится к диагональному тензору давления
~ Pa 0 0 -
Pa= 0 ра 0 , (3.2.9)
_0 0 Pa-
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАЗМЫ
75
где ра — скалярное давление,
Ра = J2g*. j (v _ уа)2 fa dv = ПаКТа. (3.2.10)
Нарушение сферической симметрии тензора давления часто бывает связано с процессами релаксации [2] (например, с вязкостью жидкостей), и поэтому тензор давления обычно разбивают на два тензора. Один тензор имеет след, равный нулю, другой является диагональным, т. е. Pa = П + \р [величина р определяется выражением (3.2.10)]. Следовательно,
П = j namafa [(v—Va) (V-Va)—|-| (V-va).(V-Va)] dv.
Иногда оказываются полезными и другие моменты функции распределения. Однако простой физический смысл имеют лишь те моменты, которые мы привели выше.
Задача 3.2.1. Докажите, что Pa — диагональный тензора если функция /а сферически-симметричнапо V. При каких условиях тензор Pa является диагональным, но с рх Ф р2 Ф р3?
§ 3. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ (ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ)
УРАВНЕНИЯ ПЛАЗМЫ
Подобно тому как моменты функции распределения дают макроскопические параметры, моменты (по скоростям) кинетического уравнения (3.1.14) дают уравнения для макроскопических переменных и, таким образом, описывают эволюцию плазмы во времени с макроскопической точки зрения. Поскольку полученные этим путем уравнения совпадают с гидродинамическими уравнениями для сплошной среды, теории, использующие макроскопические уравнения, называются гидродинамическими.
3.1. Уравнение непрерывности
Проинтегрируем уравнение (3.1.14) по всему пространству скоростей:
J (3-ЗЛ)
здесь /а = /а (х, у, t). Правая часть и третий член в левой части этого уравнения исчезают после интегрирования, так как оба они описываются выражением
I [^Г‘ І а* (Xl’ ' ‘’ xn^ Fdx2 ‘'' dXN ' dVjv] dVl’ (3-3-2)
которое равно нулю, поскольку F (V1 — ± оо) = 0. Это показывает, что столкновения изменяют скорости частиц в системе, но не влияют непосредственно на пространственную плотность. Уравнение (3.3.1) есть уравнение непрерывности, которое после интегрирования по d\ принимает вид
