Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
1Я=4г+^'
в котором V — скорость жидкого элемента. Субстанциональная производная скалярной величины записывается в виде
DS dS , 6S
Dt dt 1 dxt ’ Субстанциональная производная векторного поля
“-“.+(,.„А
в декартовых прямоугольных координатах имеет вид
DA _ ~ / dAi dA(
DA - / dAi , dAt \
Dt ~Яі\ dt +V} dxj )
В криволинейных координатах иногда удобно использовать тождество
(v-V) V = -і- V (v-v) - vX [VX v],
сводящее производную скорости вдоль направления скорости к операциям градиента и ротора. Многие полезные тождества, которые можно доказать на основе перечисленных здесь правил действий со скалярами, векторами и тензорами, приведены в [1, 6].
х) В отечественной литературе эта дифференциальная операция называется производной вектора В вдоль вектора А,— Прим. ред.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
497
Интегральные теоремы. В механике сплошных сред большую пользу приносит применение теоремы Гаусса, связывающей между собой поверхностные и объемные интегралы:
ш
(V-A) dx =
=- j j (n-A)ds;
И J'-тк"“И *¦
здесь V — объем, a S — замкнутая поверхность, ограничивающая этот объем, и п — единичный вектор внешней нормали к поверхности. В декартовых координатах данная теорема записывается в виде
0*fc
V 8
Поверхностный интеграл можно также представить следующим образом:
^ j (A-n) ds= f j An ds,
8 S
Аналогичные соотношения справедливы для скаляров и тензоров:
V S
Последнее соотношение в декартовых координатах записывается в виде
Теорема Стокса устанавливает связь между криволинейными и поверхностными интегралами:
^ k-dl =
С
[V X A]*n ds;
8
здесь интеграл слева берется по замкнутому контуру Ct а справа — по любой поверхности Sj натянутой на этот контур.
Дифференцирование тройного интеграла; формула Лейбница. Пусть V (t) — зависящая от времени область пространства, ограниченная поверхностью S (?), и / (г, t) — скалярная функция координат и времени. Тогда мы имеем следующее соотношение:
¦зг ИIfdx== Ш ігл+И
VV 8
в котором Vs — скорость элемента поверхности ds. Если элемент поверхности движется вместе с жидкостью (т. е. со скоростью \s = v), то отсюда, используя уравнение непре-
498
ПРИЛОЖЕНИЕ II
рывности, получаем
j Pfdx= j P-Wdx-
V V
Криволинейные координаты. Во многих физических задачах удобно и естественно использовать криволинейные координаты. Здесь мы рассмотрим только ортогональные системы координат, в частности практически важные случаи применения цилиндрических и сферических координат.
\\илиндрические координаты. Декартовы переменные х, г/, z связаны с цилиндрическими координатами г, 0, z соотношениями
X= г cos 0, г= Z/2,
y = r sin0, 0==arctg-|*,
Z = Z1 Z=Z,
Элемент длины dl записывается в виде
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + г2 сШ2 + dz2.
Компопенты вектора в декартовых координатах преобразуются в цилиндрическую систему координат по следующим формулам:
Ar = (cos 0) Ax + (sin 0) Ayi Ax= (cos 0) Ar + (—sin 0) Aq,
Aq = (—sin 0) Ax + (cos 0) Ayt Ay = (sin 0) Ar + (cos 0) A0i
Az = Azi Az Az.
Сферические координаты (г, 0, ф). Связь между Xi у, z и г, 0, ф дается формулами
X= г sin 0 COS ф9 Г= Z/2 + Z2,
V_1_ -ц 2
у = г sin 0 sin ф9 0 = arctg ——* ,
z = r cos 0, <? = arctg —.
X
Вектор преобразуется из декартовой системы в сферическую и обратно согласно соотношениям
Ar = (sin 0 cos ф) Ax + (sin 0 sin ф) Ay-f- (cos 0) AZi Aq = (cos 0 cos Ф) Ax + (cos 0 sin ф) Ay + (— sin'0) Az,
Аф = ( — sin ф)Ах + (cos ф) Ay
И
Ax=(sin 0 cos Ф) Ar-)- (cos 0 cos ф) + ( — sin Ф) A^y
Ay = (sin 0 sin Ф) Ar-)- (cos 0 sin Ф) Aq-\-(соб'Ф) A^9
Az = (cos 0) Ar + (— sin 0) Aq.
Общие правила преобразования векторов и тензоров. Связь между компонентами вектора в системе координат ^1, g2i g3 и в системе координат ^1', g2't g3' (обе системы координат ортогональны) дается соотношениями
и
hi'Av>
где IifI — направляющие косинусы, а именно I^i — косинус"угла между единичным вектором в направлении і' и единичным вектором в направлении і.
Компопенты тензоров преобразуются аналогично:
*«.-2 2
і j
г' у
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
499
Эти соотношения, по существу, представляют собой определение тензора второго порядка, т. е. тензором второго порядка называется совокупность величин, преобразующихся по такому закону.
Дифференциальные операции в криволинейных координатах. Здесь мы приведем формулы для различных дифференциальных операции (V) в цилиндрических и сферических координатах. В криволинейных координатах оператор V для разных компонент записывается по-разному и не удовлетворяет определенным правилам преобразования. Для вывода этих формул декартовы компоненты векторов и тензоров нужно выразить через их компоненты в криволинейных координатах, а затем перейти от дифференцирования по Xi уу z к дифференцированию по криволинейным координатам. Эта процедура достаточно громоздка, хотя и не является сложной. Таким образом, запишем следующие формулы для оператора V в цилиндрических и сферических координатах. Формулы, включающие операции над тензором Т, справедливы только для симметричных тензоров.
