Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
лг I f I dD ,
Zsti } D da, d(0’
С
где N — число корней уравнения D (к, со) = 0, которые имеют о* > 0 (что соответствует неустойчивости); контур интегрирования С показан на фиг. 176.
Чтобы использовать диаграммы Найквиста для нахождения неустойчивых корней функции г)
'Cl-У А, (9-10.9)
а а
прежде всего следует отметить, что (1/Я) (dHldto) не стремится к нулю при I со I —оо, как это имело место в случае электростатической неустойчивости.
OO
Поэтому j (1/Я) (dH/d(o) diо нельзя заменять на j (1/Я) (dH/da>) da>. Впрочем,
С —OO
это препятствие легко преодолимо: записав о = RelQ, можно в явном виде вычислить интеграл
Iim (4'-?-
Другой способ состоит в построении кривой H (о), когда со пробегает контур С (фиг. 176), что сразу позволяет найти N, подсчитав число оборотов H вокруг начала координат H= 0:
J 4-^-й(о==1пЯи-
Задача 9.10.3. Покажите, что изотропное распределение устойчиво относительно электромагнитных волн, доказав, что уравнение H (кх, о) = 0 не может быть удовлетворено, если со соответствует неустойчивой волне.
х) Нули функции H == —сO2D (Ar, со) совпадают с нулями диэлектрической проницаемости D (к, со). В данном параграфе мы рассматриваем //, а не D, чтобы не иметь дела с полюсом при со = 0, который в случае электромагнитных волн имеется у D. В § 6 настоящей главы мы показали, как использовать диаграммы Найквиста для функций, имеющих полюса; читатель может убедиться, что при этом подходе получаются те же результаты.
386
ГЛАВА 9
Фиг. 170. Контур в со-плоскости и диаграмма Найквиста в Я-плоскости для электромагнитных волн в плазме с мопотонно убывающей функцией распределения. Показано, что такое распределение устойчиво. Заштрихованная область внизу соответствует со. > 0»
На части контура в о-плоскости, где со вещественна, для вещественной и мнимой частей функции H (кх, со) = Hr + Hii мы можем записать выражения
Яг = «с*-<о’ + S <+ 2
“ “ (9.10.10)
-я 2 b(vx--?-)dv,
которые в случае изотропного распределения имеют вид IIr H = Й C2 -0)2-2 Cia-U dy'
а
Hi(U)) = — я 2 j /<*0 (у» + у* + -^-) dVydvz.
(9.10.11)
Здесь ^ обозначает интеграл в смысле главного значения Kouiu. Согласно
(9.10.9), если со пробегает значения, расположенные на верхней полуокруж-
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
387
ности контура С (т. е. о = Reie, R-*- оо, 0 <в< л), H (со) = —со2, откуда Hr = R2 cos 20,
Hi=-R2 sin20, R-+00. (9.10.12)
Используя (9.10.11) и (9.10.12), нетрудно построить кривую H (со), как показано на фиг. 176 (для удобства приведен и контур С). Направление обхода изображено стрелками; ясно, что контур H не окружает начала координат H = 0, когда со проходит контур С (верхняя часть фиг. 176). Поэтому N (число корней уравнения H = 0, соответствующих неустойчивости) равно нулю, и, таким образом, доказано, что изотропное распределение устойчиво по отношению к электромагнитным возмущениям. Если бы вещественная часть Hr при (о = 0 оказалась отрицательной, то диаграмма Найквиста указывала бы на неустойчивость.
Из этих соображений можно получить критерий неустойчивости плазмы с одногорбым, но анизотропным распределением, аналогичный критерию Пенроуза для электростатических волн. Полагая в (9.10.10) Hr (со = 0) <1, можно записать этот критерий в виде
к2с2 + 2со?е j vl (~§T~"^r) (fro+ fioj d\ < 0 (неустойчивость).
Ниже мы рассмотрим пример, в котором анизотропия распределения приводит к неустойчивости.
10.2. Электромагнитная неустойчивость двухтемпературной максвелловской плазмы
Пусть температура Tx в плазме отличается от температур в направлениях, перпендикулярных х. Запишем соответствующее распределение
^ao = ( 2 JixTx )а ('2™7;')аЄХР[ — *V* ~ ’ Тх?=Т.
(9.10.13)
Такое распределение может возникнуть в результате применения некоторых методов создания плазмы и существовать в течение времени t <.тс. Это распределение устойчиво по отношению к электростатическим возмущениям. Устойчивость же по отношению к электромагнитным возмущениям можно проверить, если подставить fa из (9.10.13) в уравнение (9.10.10) для H (кх, со) и исследовать диаграмму Найквиста. Эта диаграмма аналогична приведенной на фиг. 176, поскольку для распределения (9.10.13) при вещественном со
H1- - /I S Ofc ) ¦« ^ „р[ (^t)* J
a
и обращается в нуль только при со = 0. Величина Hr при со = 0 равна Hr (о, = 0) = kl? + 2 «Pa ( 1 - ^)а ,
а
и знак этого выражения определяет устойчивость распределения.
На фиг. 177 показана диаграмма Найквиста для двухтемпературного максвелловского распределения. Условие его неустойчивости по отношению к раскачке волн с волновым вектором к = кхх записывается следующим образом:
(т± Л
---'r> (неустойчивость), (9.10.14)
E = E±\±eihxX.
388
ГЛАВА 9
Фиг. 177. Диаграммы Найквиста для электромагнитных волн в двухтемпературной максвелловской плазме.
а — устойчивость, анизотропия температуры мала; ^^fTx)] > 0; б — неустойчи-
а
вость, большая анизотропия температуры; -+- wpa О — т±/тх^ < °*
