Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Метод релаксации
В примере 2.12 твердое тело делилось на элементарные ячейки с помощью сетки, в трех узлах которой температура была неизвестна. Получалась система трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Если бы требовалось повысить точность решения, применяя более частую сетку, появилось бы больше узлов с неизвестными температурами и надо было бы решать дополнительные уравнения для их определения. В общем случае каждый узел с неизвестной температурой приводит к появлению одного алгебраического уравнения, которое нужно решать совместно с уравнениями для остальных узлов.
Когда число узлов сравнительно мало, как это было в примере 2.12, решение системы уравнений находится без особого труда. Однако, когда уравнений становится много, приходится решать систему уравнений приближенным методом. При решении задач теплопередачи иногда применяют метод релаксации. Хотя этот метод редко используют для решения практических задач, он является хорошим педагогическим приемом, позволяющим показать, как можно решить простые задачи численными методами. Кроме того, принципиальная схема применения метода релаксации поможет нам понять чаще используемые на практике численные методы, которые будут описаны ниже в этой главе.
Цель метода релаксации — определить температуры в каждом узле твердого тела таким образом, чтобы приближенно удовлетворялись уравнения энергии в узлах. Вместо того чтобы полагать правые части уравнений энергии, например (2.94) и (2.96), равными нулю, их можно принять равными некоторой величине, называемой остаточным членом. Затем следует систематически изменять температуры до тех пор, пока остаточный член не станет достаточно малым. Величина остаточного члена характеризует степень точности определения температур во всех узлах. Если остаточные члены в уравнениях энергии для всех узлов становятся равными нулю, температуры в узлах являются точными решениями системы уравнений энергии.
Чтобы показать, как пользоваться методом релаксации, применим его к системе трех уравнений, полученных в примере 2.12. Три уравнения энергии в этом примере имеют вид
400 + Г3-7Г4 = /?4, 300 + Г4 + Г6-4Г5 = /?5, 150 + Г5-2Г6 = #6.
Правые части этих уравнений заменены остаточными членами Ri9 где индекс — это номер соответствующего узла. Наша задача состоит в нахождении таких значений Г4, Г5 и Гб, чтобы величины остаточных членов были достаточно малыми. Величины
4 Зак. 487
98 Глава 2
остаточных членов будут определять точность приближения температуры. Отметим, например, что при ошибке T4 в один градус остаточный член будет равен семи градусам. Остаточные члены имеют размерность температуры. После того как получены уравнения энергии для всех узлов, применяем метод релаксации, выполняя последовательно действия в соответствии со следующими четырьмя операциями.
Операция 1. Сначала нужно задать приближенные значения всех неизвестных температур в узлах. Мы должны использовать наши знания теории теплопередачи, чтобы задать температуры как можно точнее. Предельные значения температур в рассматриваемой задаче — это 5O0C (температура окружающей среды) и 2000C (температура верхней поверхности твердого тела). Следовательно, ожидаемые температуры в установившихся условиях должны быть заключены между этими значениями. Можно ожидать, что самой низкой из трех температур будет Т4у а самой высокой — Г6, поскольку узел 6 находится на теплоизолированной границе. В качестве начального приближения зададим следующие значения температур: T4 = 80°С, Г5=100°С, T6 = = 15O0C
Операция 2. Следующая операция состоит в подстановке начальных температур в приближенные уравнения энергии для узлов и вычислении остаточных членов. В нашем примере R4 = = —60°С, /?5=130°С, Re = —5O0C Поскольку остаточные члены не равны нулю, следует продолжать изменять температуры, стремясь свести остаточные члены к нулю.
Операция 3. Чтобы уменьшить остаточные члены, изменим температуру, соответствующую наибольшему по абсолютной величине остаточному члену, стремясь свести величину этого остаточного члена к нулю. Часто можно ускорить сходимость к истинным значениям температур, если изменить температуру в рассматриваемом узле таким образом, чтобы остаточный член был равен не нулю, а некоторой малой величине, противоположной по знаку остаточному члену до изменения температуры. Такой процесс называется избыточной релаксацией.
В нашем примере наибольший остаточный член соответствует узлу 5. Из разностного уравнения баланса энергии для узла 5 следует, что, если увеличить T5 на 350C, значение R5 уменьшится на 14O0C и станет равным сравнительно небольшой величине противоположного знака. Заметим, что при изменении Ть изменятся также R4 и Rq. Итак, получаем новые значения (второе приближение) трех температур и соответствующих остаточных членов:
Г4 = 80°С, /?4 =- 250C, T5= 1350C, R5 = - 100C9 TQ= 15O0C, Rq=- 150C
Стационарная теплопроводность 99
Операция 4. Следующая операция процесса релаксации состоит в повторении действий предыдущей операции, пока не будет достигнута требуемая точность. Теперь наибольшим является остаточный член /?4, поэтому изменяем Г4 таким образом, чтобы член Rt стал равным малой положительной величине. Например, уменьшаем T4 на 40C Получаем новые значения (третье приближение) температур и остаточных членов:
