Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
бесконечному периоду биений:
Амплитуда станет бесконечной через бесконечно долгое время.
Случай 3. Процесс установления биений. Для слабо затухающих колебаний и
для частоты со, близкой к со1? нетрудно показать, что величина запасенной
энергии приблизительно равна (задача 3.24)
Е (!) = Е [1 + ехр (- Г/) - 2 ехр (- 72 Г/) cos (со - сог) /], (46)
где Е - энергия в установившемся режиме. (Если положить "=(c)!, то получим
случай 1, рассмотренный выше; если положить Г=0, получим случай 2.)
Отсюда следует, что если процесс начинается при ^=0 с отсутствия в
осцилляторе запасенной энергии, то она не будет плавно увеличиваться до
своего установившегося значения (если только со не равно частоте
свободных колебаний cox). Вместо этого энергия будет совершать колебания
с частотой со-сох-Эти биения обусловлены тем, что осциллятору "больше
нравится" совершать колебания со своей собственной частотой соь когда на
него действуют с частотой со. Поэтому вынуждающая сила иногда оказывается
в фазе с совершаемыми колебаниями, что увеличивает их амплитуду, а иногда
в противофазе, что уменьшает амплитуду. Если нет затухания, то эти биения
будут соответствовать случаю 2. Однако из-за затухания фаза колебаний
осциллятора постепенно приспособится к фазе внешней силы и примет
определенное значение. По истечении довольно долгого промежутка времени
осциллятор будет совершать установившиеся колебания с частотой
возмущающей силы со без биений. Относительная фаза колебаний осциллятора
и внешней силы примет постоянное значение, при котором величина энергии,
получаемая осциллятором в каждом цикле колебаний,
(45)
115
будет в точности равна потерям энергии на трение за цикл. Теперь энергия
осциллятора будет постоянна и относительная фаза колебаний осциллятора и
внешней силы будет также постоянной. Переходный процесс для энергии
показан на рис. 3.2,
Рис. 3.2. Переходные биения. (Мы выбрали период биений, равный времени
затухания Т.) Запасенная энергия E(t) растет от нуля и испытывает
затухающие колебания с частотой биений (равной разности частот
вынуждающей силы и свободных колебаний), постепенно приближаясь к энергии
Е установившегося состояния.
Качественная оценка формы резонансной кривой. Теперь, зная характер
переходного процесса, попытаемся оценить отношение амплитуды в
установившемся режиме при частоте резонанса к амплитудам при других
частотах. Пусть осциллятор, сначала неподвижный, подвергается действию
вынуждающей силы на резонансной частоте. Если нет затухания, амплитуда
колебаний будет линейно возрастать в соответствии с уравнением (45). В
действительности же она будет возрастать линейно лишь вначале, потому что
в первый момент средняя скорость мала и соответственно затухание
незначительно. Однако в конце концов рост амплитуды прекратится на
уровне, которого она достигнет за время порядка т. Из-за затухания
амплитуда будет поддерживаться на этом уровне. Мы можем оценить эту
амплитуду, имея в виду, что максимальная сила F0, действующая на массу М,
за время т сообщит ей максимальный импульс силы F0x. Но по второму закону
Ньютона максимальный импульс равен произведению массы М на максимальную
скорость со0Л (со0). Таким образом, F0t"A1co04 (со0) и
Это - оценка амплитуды в установившемся режиме, когда со=со0.
Пусть теперь частота вынуждающей силы со сильно отличается от со0. Если
нет затухания, то амплитуда будет колебаться с частотой модуляции 1/2
(со0-со), а энергия осциллятора будет колебаться с частотой биений со0-
со. "Включим" затухание. Потери энергии на трение пропорциональны
квадрату скорости. Поэтому, когда энергия максимальна, затухание самое
большое. Когда энергия равна нулю, затухания нет. Таким образом,
затухание стремится "обре-
i/t
ит.д.
(47)
116
зать вершины холмов" на графике зависимости энергии от времени.
(Затухание стремится также "засыпать долины".) В конце концов биения
будут погашены. Допустим, что амплитуда при наличии затуханий равна
половине амплитуды, которая существует при биениях, и поэтому заменим sin
Р/2 (ю0-ю) t] в уравнении (43) на V,. Тогда для частоты, сильно
отличающейся от частоты ю0, имеем согласно выражению (43)
Л(">)"А-ГЦ-. (48)
м (c)з-(c)
Нетрудно догадаться, что амплитуда А (со) может быть связана с
максимальным импульсом, который получен от силы F0 за некоторую часть /
одного периода биений. Этот импульс силы равен произведению массы на
амплитуду А (со) и на среднюю угловую частоту V, (co0-fco). Период биений
Т равен 2я/(со0-со). Таким образом, имеем
(со)у(со0 +со).
Если положить /=1/(4я), мы приходим к равенству (48).
Из точного решения нам известно, что при резонансе амплитуда колебаний
равна Лп(со0), так как амплитуда Лд в этом случае равна нулю. В самом
деле, наша "угаданная" амплитуда А (со0) равна Ап (со0), что легко
видеть, сравнив уравнения (47) и (16). Мы также знаем, что вдали от
резонанса точное решение дает для амплитуды колебаний значение Ая (со).
