Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
сообразительны, то сможем создать такие условия, чтобы суперпозиция этих
двух волн в среде 1 дала нулевую амплитуду отраженной волны.
Заполним область между 2=0 и z=L дисперсивной средой с характеристическим
импедансом Z2. Пусть Z2 лежит между Zx и Z3. В соответствии с нашими
формулами для коэффициентов отражения имеем
р ^2 l~(Z2/Zt) р __ Z2 Zg 1 (Zg/Z2) !ЛЪ\
Kl2~Z2+Z1_l+(Z2/Z1)' -2а + 2з - 1+(2з/2а) • ^
Вследствие того, что Zx<CZ2<CZ3, оба коэффициента отражения, ^12 и R23,
имеют одинаковый знак. Теперь нам нужно воспользоваться тем, что две
отраженные волны возникают в различных местах, а именно при 2=0 и при
z=L. Проследим за распространением падающей волны. В 2=0 падающая волна
частично отражается с коэффициентом R12 и частично проходит с
коэффициентом прохождения Т12, который, кстати, всегда положителен.
Прошедшая волна доходит до границы z=L, где частично отражается с
коэффициентом R2з и частично проходит. Волна, отраженная от границы Z==L,
распространяется в направлении -г и проходит границу 2=0 с коэффициентом
прохождения Тц. Таким образом, амплитуда
229
волны, прошедшей обратно (в направлении -г) в среду 1, равна амплитуде
падающей волны, умноженной на коэффициент Т12х X R2sTл. Сдвиг фазы между
этой волной и волной, отраженной от первой поверхности раздела,
определится временем прохода волной расстояния 2L. Таким образом, мы
можем написать следующие выражения для трех волн в первой среде:
Фпад = A cos (соt-k.z), (44)
4><orpii* = o> = fliHcOS((0/+fe1z). (45)
¦ф(отр BZ=L) = TibR2 J21A cos (со/ -f kxz-2k2L). (46)
Здесь -2k2L - это изменение фазы волны при прохождении расстояния 2L в
среде 2 (k2 - волновое число; знак минус указывает
на отставание по фазе). Падающая волна и две отраженные волны,
определяемые уравнениям (45) и (46), показаны на рис. 5.5.
Приближение, основанное на малости коэффициентов отражения. Кроме двух
отраженных волн, показанных на рис. 5.5, существует бесконечно много
отраженных волн, на что указывает стрелка "и т. д.".
Следует заметить, что во
Рис. 5.5. Падающая^и^две первые отраженные всех Применениях ОПИСЫВае-
Чтобы избежать наложения лучей, показан МОГО МеТОДЗ ИМПеДЗНСЫ Zj, Z2
случай падения не по нормали. и ?3 мал0 ОТЛИЧЭЮТСЯ Друг
от друга и поэтому коэффициенты отражения малы по сравнению с единицей. В
этом случае первые две отраженные волны преобладают, и с достаточной
степенью точности мы можем пренебречь вкладом от многократно отраженных
волн. Например, амплитуда третьего отраженного луча будет составлять
{R2iR23)-k> часть от амплитуды второго луча (т. е. луча, отраженного от
границы z-L). Если R21 и R23 порядка 0,1, то третьей отраженной волной
можно уже пренебречь. Точно так же произведение Т12Т21 в уравнении (46)
можно с достаточно хорошим приближением заменить единицей:
Т12Т21 = (1 + R12) (1 -R12) =l-Rl^l. (47)
Таким образом, в приближении, когда коэффициенты отражения малы,
отраженная волна в среде 1 будет суперпозицией двух волн: отраженной на
границе 2=0 и на границе z-L. Имея в виду равенства (46) и (47), получаем
фотр " R12A cos (со/ + kiz) + #23^ cos (соt-\-Kz-2k2L), (48)
230
где 2k2L определяет сдвиг фазы, возникший от движения "туда и обратно".
Как получить неотражающий слой. Теперь можно считать, что задача
согласования сопротивлений решена. Сначала выберем Zt так, чтобы Rh^Rm,
т. е. чтобы [в соответствии с (43)]
f = §-2, Zt = VzJl. (49)
Тогда выражение (48) принимает вид
фотр да PlaA[cos (со/-j-^2) +cos (a>t 2k2L)]. (50)
Теперь выберем длину L такой, чтобы сумма в уравнении (50) равнялась
нулю. Это означает, что мы хотим иметь "полностью деструктивную
интерференцию". Она возможна в том случае, если 2k2L равно я, т. е. если
расстояние 2L представляет собой половину длины волны в среде 2. Таким
образом, отраженная в среду 1 волна равна нулю, если Z2 есть
геометрическое среднее из Zx и Z3, а толщина L промежуточного слоя равна
четверти длины, волны в этом слое.
П р и м е р 9. Согласование импедансов в оптике. Пучок видимого света,
проходящий через пластинку стекла, отражается дважды: на границах воздух
- стекло и стекло - воздух. Интенсивность отраженного пучка будет
пропорциональна квадрату амплитуды отраженной волны (или квадрату
коэффициента отражения, если амплитуда падающей волны принята за
единицу). Поэтому при каждом отражении в соответствии с уравнением (42)
п. 5.3 потери интенсивности равны (1/5)2=1/25=4%. Соответственно при
переходе через пластинку (две поверхности) эти потери составят 8%. [Мы
пренебрегаем интерференцией отраженных от двух поверхностей волн. Для
обычного белого света интерференционные эффекты равны нулю при усреднении
по широкому диапазону частот (цветов). Обратите внимание на опыт 5.10.]
Такие потери (8%) недопустимы в оптических приборах, имеющих много границ
стекло - воздух. Поэтому обычно поверхность линз покрывают неотражающим
слоем. В соответствии с уравнением (49) импеданс покрывающего слоя должен
