Точные решения уравнений Эйнщтейна - Крамер Д.
Скачать (прямая ссылка):
+ V (г) Г+ Г (г))}2 dr2] - Л2, (29.37)
где
9> = 1 + ад/2; k =0, zt 1; (29.38)
2ФФ +Ф'-f к0/?(/)Ф1 = -?; (29.39)
ЛФг -f ЗЛ ФФ - = ?/ + Ш. (29.40)
Чтобы получить решение в явном виде, необходимо задать давление p(t), функции U(г), W(r) (обе действительные), V(r) (комплексную), а затем определить Ф(<) из (29.39) и А (г, t) из (29.40). Плотность энергии (х можно получить из (29.30).
В случае пыли общее решение получил Секереш [Szekeres
(1975)] (см. также [Bonnor, Tomimura (1976)]), а случай идеаль-
ной жидкости
Xqp(t) =const Ф-2
был решен Томимурой [Tomimura (1977)]. Некоторые другие решения для идеальной жидкости, соответствующие выбору
6=0; р (t) =Const^-2
были построены Сафроном и Уэйнрайтом [Szafron, Wainwright (1977)]; сюда также входит решение (32.51), (32.52) класса вложения один.
Cm.: [Collins, Szafron (1979)].
29.4. Решения типа III и N
По-видимому, не известно решений типа III для идеальной жидкости или пыли. Для решений типа N следующие теоремы ограничивают свойства возможных решений (случай ц+р=0 всегда исключается).
309
Теорема 29.1. He существует решений типа N для идеальной жидкости или пыли с равным нулю ускорением (йа=0) [Oleson (1972)], ср. также [Kudnt, Trumper (1962), Szekeres (19666)].
Теорема 29.2. Главная изотропная конгруэнция в случае решения типа N для идеальной жидкости является геодезической в том и только том случае, если жидкость не имеет вращения, а давление и плотность энергии связаны соотношениями
ц=р+A (t), и»= (-2Я)-1^j0 (29.41)
[Kundt, Trumper (1962)].
Олсон [Oleson (1971, 01972)] определил все метрики, отвечающие условиям теоремы 29.2, т. е. все решения типа N для идеальной жидкости с геодезической (но имеющей вращение) главной изотропной конгруэнцией. Он дал два следующих класса решений.
Класс I:
р-' = -2/; о-' = —4f; ds* = tm [dx - 2t~TG, xduj +
+ t'12 (dy + cIt42G yduf - 2Gdtdu - 2GtHdut;
H(t, и) = -2 \аг (и) t42 + 6*/3/2|; G (х, y,u)=g(x, u)h(y, и); (29.42)
g, ** + a*(«)?=-'0; /г, уу-\-ЬгИ=0; Ь = const;
4/7 = 3/"372(аг -.76?); А = 12ЬгГ1'2.
Класс II:
р*’=(1 _/г).7; о->=2(/г-1); ds* = е (I - R- * (dx - sRG, xduf + s (I - t1) R (dy + eR- 'G, ydu)* -
- 2Gdtdu - 2GtHdut; є = — I; (29.43)
H(t, и) = — s [e (I - 0]1/2 [Xat (и) - b2 (t + I )1;
tf(r).= [s(l -/)/(1+/)]1'2;
G(x, y, u)=g(x, u)h(y, u);
g. XX + <*» g=0;
* w + |«(a*-2^JI/2A=0;
(є, A) = (1, I) или (—1, -J=I); 6 = const;
2p = Зє |s (I - /*)]"3'2 [Ьг (4/s - 5t — I) + Xat];
А=\2ЬН\е(\ -*г)р1/2.
Для обоих классов жидкость имеет ненулевые сдвиг, ускорение и расширение при условии, что а’(и)ф0, a=const дает конформноплоские решения. Векторы Киллинга (максимальное количество два) возможны только в классе I для метрик с Ь=0.
310
Ч а с т ь I V СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Глава 30
Техника построения решений
30.1. Введение
Поскольку решать уравнения Эйнштейна чрезвычайно трудно, то большое значение имела бы возможность получения новых решений из уже известных, основанная на внутренней симметрии полевых уравнений. В большей части этой главы мы будем рассматривать метод построения решений, который можно применять только в том случае, когда пространство-время допускает неизотропное поле вектора Киллинга. Главная идея этого метода будет объяснена в § 30.2, а наиболее важный случай, т. е. поля Эйнштейна— Максвелла, будет рассмотрен в § 30.3. Дополнительный вектор Киллинга в пространстве-времени расширяет внутреннюю группу симметрий, что приводит к новым возможностям для построения решений (см. § 30.4). Чтобы проиллюстрировать возможности этого подхода, приведены некоторые новые метрики (см. § 30.5). Современные исследования близки к решению вопроса о том, какие классы решений могут быть в принципе получены с помощью данной техники построения решений.
В конце настоящей главы (см. § 30.6) сделан обзор других методов построения решений.
30.2. Пространство потенциалов
В настоящем параграфе рассмотрены римановы пространства, допускающие неизотропное поле вектора Киллинга §:
?(a.6)=0; F=l*ta?= 0. (30.1)
Удобно ввести метрику трехмерного пространства уаь, определяемую следующим образом:
Yab=I^I (gab—F-lIalb)', Y=^et(Yab). (30.2)
Для стационарных полей (F<;0) (см. гл. 16) Yab является положительно определенной метрикой, а в случае пространственно-подобного вектора Киллинга (F>0) уаъ имеет сигнатуру (+H-------------).
В некоторых случаях, интересных с физической точки зрения, на-
311
пример для полей Эйнштейна — Максвелла (см. § 30.3), оказывается возможным ввести скалярные потенциалы <рА (Л = 1, ..., N), такие, что уравнения Эйлера — Лагранжа
6L/6yab=0, 6?,/6фА=0, (30.3)
которые получаются с помощью вариационного принципа из лагранжиана
L = /f\R + Gab (/) TaY0Cpe6I, (30.4)
являются в точности полевыми уравнениями (R означает скалярную кривизну по отношению к метрике Ya*; det Gab=T^O). Величины <рА и Yab полностью определяют метрику пространства-времени gab и неметрические поля, входящие в тензор энергии-импульса.
