Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
2п а(ф)
2тг ’
/ Kx)dx
О
где а и I суть определенные аналитические функции.
§ 13. Понятие интегрируемости. Вопросы, касающиеся интегрируемости данной динамической проблемы, представляют большой интерес. Общеизвестно, что для некоторых задач можно ввести вспомогательные аналитические соотношения, с помощью которых мы можем удовлетворительно исследовать решения соответствующих дифференциальных уравнений. В этом случае система может быть названа
Системы с двумя степенями свободы
255
«интегрируемой». Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес. Рассмотрим вкратце понятие интегрируемости, не забывая при этом указания Пуанкаре, что система дифференциальных уравнений может быть только более или менее интегрируемой.
Заметим, что в только что рассмотренной проблеме мы имеем четыре периодических движения, которые играли специальную роль, а именно, движения вдоль обеих осей эллипса и два движения вдоль самого эллипса в обоих возможных направлениях.
Все другие периодические движения разбиваются на аналитические семейства и, таким образом, с формальной точки зрения представляют собой весьма вырождающиеся типы. Но эти специальные движения изолированы и принадлежат к общему типу. В окрестности этих точек мы будем иметь обычные разложения координат в формальные ряды1, и эти ряды мы можем считать сходящимися и аналитически продолженными на некоторую окрестность движения; в самом деле, эти свойства представляют собой только другое выражение подобных же свойств интегрируемого преобразования Т, согласно которым оно вращает определенным образом известные кривые, окружающие инвариантные точки.
Отметим также, что в этой проблеме четыре надлежащим образом выбранные окрестности четырех основных периодических движений покрывают целиком многообразие М; в самом деле, оба семейства движений вокруг эллипса, семейство движений поперек эллипса и периодическое движение вдоль большой оси вместе исчерпывают все движения системы. Эти факты подсказывают нам следующее (не вполне точное) определение интегрируемости, основанное на некотором локальном и на некотором нелокальном свойстве.
Данная система аналитических дифференциальных уравнений на замкнутом аналитическом многообразии М будет называться интегрируемой, если существует конечное множество периодических движений, такое, что соответствующие полные разложения в формальные ряды могут быть взяты сходящимися и дающими соответственное аналитическое представление для каждого возможного движения системы.
При применении этого определения в качестве известного рода нормы естественно появляются некоторые соображения.
Прежде всего, естественно определить «локальную интегрируемость» в окрестности некоторого периодического движения общего устойчивого типа как такую, когда формальные ряды мы можем счи-
1 Разумеется, при этом вместо времени t появится дискретный аргумент — целое число п.
256
Глава 8
тать сходящимися. Следовательно, движение устойчиво в интегрируемом случае, и соответственные явные формулы дают нам полное представление о характере близких движений.
Но теперь возможно представить, что эти ряды хотя и не сходятся, но вблизи периодических движений представляют асимптотически какие-то функции, непрерывные вместе с некоторыми или всеми своими производными, причем с помощью этих функций система дифференциальных уравнений может быть приведена к нормальному виду, подобно тому, как в § 13 главы III Mi, ... , Мш суть функции от ?i?7i, ... , imVmi непрерывные вместе с некоторыми из своих производных. Здесь качественное поведение системы таково же, как и в случае сходимости. Возникает вопрос: нужно ли систему дифференциальных уравнений называть интегрируемой и в этом более общем случае?
Кроме того, качественное поведение движений вблизи периодического движения общего неустойчивого типа для систем с двумя степенями свободы существенно не зависит от сходимости или расходимости формальных рядов. Спрашивается, должны ли мы называть всякую систему локально интегрируемой в окрестности подобного периодического движения неустойчивого типа.
Если дифференциальная система содержит параметр ц, то мы можем рассматривать тот вид локальной интегрируемости, когда от формальных рядов требуется не только, чтобы они сходились, но также чтобы они были аналитическими относительно fi. Именно в этом смысле Пуанкаре доказал несуществование отличных от классических, однозначных интегралов в задаче трех тел1. Но очевидно, что это определение логически отлично от вышеприведенного. Система, не интегрируемая в этом смысле, может быть (a priori) интегрируемой согласно нашему определению для каждого отдельного значения параметра fi. Насколько я знаю, локальная неинтегрируемость в вышеприведенном смысле не была установлена ни для какой динамической проблемы. Мы здесь, однако, установим ее (для случая т = 1) следующим образом.
Предположим, что всякая гамильтонова проблема локально интегрируема в окрестности точки обобщенного равновесия общего устойчивого типа (см. главу III). Применяя нормальные переменные, мы видим, что тогда Т является по существу вращением на переменный угол.
