Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пятимерное многообразие М состояний движения состоит из шестерок чисел (ж, у, z, ж', ?/', z'), связанных между собой интегральным соотношением. Избранная секущая поверхность S будет в этом случае представлять собой четырехмерную часть многообразия М, в которой z обращается в нуль и zr = dz/dt ^ 0. Трехмерная граница поверхности S', определяемая равенствами z = z' = 0, очевидно, состоит из линий потока, так как точка, для которой z = z' = 0, при каком-нибудь значении to времени t будет иметь z = zf = 0 при любом t.
Но дифференциальное уравнение
показывает сразу, что z обращается в нуль по крайней мере однажды в достаточно большом интервале времени г и не может обращаться в нуль дважды в сколь угодно малом интервале времени(16). Следовательно, если мы будем двигаться от какой-нибудь точки, лежащей на S, вдоль линии потока в многообразии состояний движения, то пересечем S опять в течение промежутка времени, равного 2т, в том же направлении, так как в S мы имеем dz/dt > 0.
Очевидно, что таким образом мы устанавливаем одно-однозначное аналитическое преобразование внутренних точек поверхности S друг в друга. Кроме того, если г, zr малы, то мы имеем приближенно
+ Л(ж, ?/, 0)z = 0,
dt1
где ж, у суть координаты движения в плоскости вблизи данного движения. Но частное решение этого уравнения, для которого z = 0 при ж = жо, у = уоч xf = ж[,, у' = г/о? причем, разумеется,
|(ж02 + г/о2) + и(хо, Уо, 0) = о обращается в нуль в точке жх, г/i, ж'15 у[, причем
|(ж12 + y'l2) + и{х 1, г/l, 0) = 0,
Существование периодических движений
155
где ж1? г/i, у[, очевидно, суть аналитические функции от ж0? Уо, Уо-Таким образом, мы видим, что преобразование Т поверхности S можно рассматривать как одно-однозначное и непрерывное также и на границе S, при условии, что мы определим Т на границе как преобразующее точку
х0, Уо, о, х'0) Уо, О
поверхности S в точку
XI, 2/1, 0, х\, у[, 0.(17)
Мы покажем теперь с помощью этого приведения к проблеме преобразования, что всегда существует периодическое движение, дважды пересекающее плоскость z = 0, если только нет кратного периодического движения, лежащего в плоскости z = 0.
Для того чтобы доказать это, рассмотрим связность секущей поверхности S. Очевидно, что мы можем так преобразовать переменные ж, у в новые ж, у, что овал z = 0, U ^ 0 перейдет в круг
х2 + у2 ^ 1.
Если мы напишем теперь
и - 1р(х, у)(х2 + у2 - 1),
где р > 0 внутри этого круга, и если обозначим, далее, х’ = у/рх’, у' = *Jpy', z' = y/pz', то уравнение поверхности S принимает вид
ж'2+у'2 + 2,2 + ж2+?2 = 1 (zf S>0), что может быть переписано:
z' =(\-х2 + у2 -х'2 -у'2)% .
Следовательно, внутренние точки и граница S находятся в однооднозначном и непрерывном соответствии с внутренними точками и границей четырехмерной гиперсферы:
_2 . —2 , —/2 , —/2 1 xz+yz + x +y = 1.
Преобразование Т определяет одно-однозначное непрерывное отображение этой гиперсферы в себя.
156
Глава 5
Но по известной теореме, принадлежащей Брауверу, такое преобразование оставляет инвариантной какую-нибудь точку. Применяя эту теорему к рассматриваемой проблеме, мы заключаем, что существует периодическое движение, пересекающее z = О дважды (случай внутренней инвариантной точки), или же существует периодическое движение z — 0 (случай инвариантной точки на границе). Но этот последний случай есть тот, когда мы получаем уравнения х\ — ж*о, у\ = уо, х\ = Жд, у[ = yf0. Это значит, что уравнения вариации имеют периодическое решение вдоль этого плоского периодического движения, в котором компонента при z не равна нулю. Следовательно, периодическое движение кратно, и в некотором смысле мы имеем все-таки периодическое движение в бесконечно малой окрестности плоскости z = О, пересекающее эту плоскость дважды. Представляется в высшей степени вероятным, что фактическое периодическое движение, дважды пересекающее плоскость z — 0, должно существовать во всех случаях.
Глава 6
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
§ 1. Периодические движения вблизи обобщенного равновесия (га = 1). Последняя геометрическая теорема Пуанкаре и ее обобщения1 доставляют нам дополнительное орудие для установления существования периодических движений. До сих пор еще не найдено какого-либо обобщения этой теоремы на большее число измерений, так что ее применение ограничивается динамическими системами с двумя степенями свободы. В этой главе мы намереваемся изложить некоторые основные идеи, содержащиеся в этой теореме и ее применениях.
Напомним, что движение вблизи периодического движения какой-нибудь гамильтоновой или пфаффовой системы с га степенями свободы, не содержащей времени t в явном виде, может быть приведено к движению подобной же системы, имеющей только га — 1 степеней свободы, но содержащей независимую переменную периодически с периодом 2тг.
Само периодическое движение будет в этой новой системе обобщенным равновесием. Это приведение выполняется при помощи аналитического приема, указанного выше (глава IV, §1).
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании периодических движений с периодом 2ктт в окрестности точки обобщенного равновесия для систем с одной степенью свободы (га = 1). Мы докажем существование бесконечного числа таких близких периодических движений в общем случае устойчивого равновесия при помощи соображений, которые хотя и не опираются явно на геометрическую теорему Пуанкаре, но повторяют в точности рассуждения, доказывающие эту теорему в некоторых частных случаях. Ниже (в § 3) эти результаты будут приложены к первоначальной динамической проблеме с двумя степенями свободы.
