Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы ограничиваемся, как и выше, рассмотрением общего случая, когда между числами ^ = lgтпи/т (к = 1, ... , п)(1) и 27Г\/^Т/г не имеется никаких соотношений вида:
(г = 1, , n),
П
1=1
Vik(t + т) = mkVik (i, k = 1, ... , n).
HMi + • • • + in^n + ?
где ii, ... , in+1 — целые числа, не равные одновременно нулю. В этом случае mi, ... , mn все различны между собою.
Формальное рассмотрение динамических систем
83
Напишем теперь функции дающие решения уравнений вариации в виде
Угк = e>lktPik(t) (г, к = 1, ... , п),
тогда очевидно, что функции рц* будут периодическими с периодом т. Далее, из известной теоремы(2) мы знаем, что определитель
Ы = |py|e('*1+-+'*")t
никогда не обращается в нуль. Следовательно, линейная замена переменных #i, ... , хп на zi, ... , zn по формуле
п
Xi = ^pijZj (i = 1, ... , п) з=1
принадлежит к группе допустимых преобразований. Уравнения вариации будут иметь решение:
Уг = (г = 1, • • • , п)
при к = 1, ... , п. Следовательно, новые уравнения должны иметь вид:
dzi /. \
— = mzi + ... (г = 1, ... , п).
Из всего этого мы заключаем, что можно без ограничения общности писать наши уравнения в подготовленном виде:
^ ~ l^i^i Н- 1, ... , жп, f) (% = 1, . . . , 7i),
где F{ есть, разумеется, периодическая функция t с периодом т. Очевидно, что если некоторые пары чисел т*, суть пары сопряженных комплексных чисел, то мы можем считать, что сделанное нами преобразование переменных принадлежит к типу, который мы рассматривали.
Будем теперь продолжать так же, как в обыкновенной проблеме равновесия, и попробуем с этой целью произвести преобразование переменных, подобное тому, которое мы делали выше, с тем различием, что коэффициенты в рядах не должны быть непременно постоянными числами, а могут быть периодическими аналитическими функциями t с периодом т. Если мы будем выбирать систему этих «функций» 3)
84
Глава 3
так, чтобы привести дифференциальные уравнения к нормальному виду, как мы это делали в случае обыкновенного равновесия, то получим аналогичные уравнения, а именно:
jp , 9(fi2 ^ 9(fi2 _
~дГ 2s 7kc7ll'X:i ~
3=1 "3
г? , dipik / dipik v' dpip \ _
Fik + dt + ^ (, дх,HXj + ^ dxj jq) ~ Mmk’
j = l 4 J p-\-q=k-\-1
Рассматривая типический член <^2
... xl™ (li + ... + ln = 2) мы находим, что требуемые условия будут
di(t) + dc'(j^ + [hrn + ... + (h- 1)т + ... + lnfj-n\ci = 0 (i = 1, ... , n),
где di — коэффициент подобного члена F«2. Коэффициент Л при с* в этом уравнении не равен нулю, и уравнение можно сразу решить относительно Ci:
t
d(t) = kie~xt — e~xt J di(t) ext dt.
о
Решение будет периодическим относительно t с периодом т в том и только в том случае, если
т
ki(I — еХт) — J di(t) ext dt.
о
Это уравнение относительно ki можно, разумеется, решить одним и только одним способом, если только Л не является целым кратным 27гу/—Т/т. Но это последнее соотношение противоречило бы нашему предположению о том, что между множителями /л i, и 27Г\/—Т/т не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами.
Формальное рассмотрение динамических систем
85
Отсюда мы видим, что, как и выше, при последовательном определении (fi2, и т. д. нам не встретится никаких затруднений, и, таким образом, мы можем привести наши уравнения к требуемой нормальной форме.
Посредством формального преобразования
п п
Xi=fi(zi, ... ,zn, t)= ^2 hj(t)zj + l ^2 kjk(t)zjzk + • • • (*=1, ... ,n),
j = 1 j,k= 1
где lij — аналитические и периодические функции t с периодом г, причем \hj{t)\ ф 0? дифференциальные уравнения (3), имеющие в начале координат точку обобщенного равновесия общего вида, могут быть приведены к нормальному виду
^ = HiZi (г = 1, ... , п). (10)
Соответствующее формальное решение уравнений (3) будет в таком случае, очевидно,
Vi = /*(с!еД1‘, ... , cnellnt, t) (г = 1, ... , п).
§ 6. О гамильтоновых множителях. Как первый шаг по направлению к получению подобной же нормальной формы для гамильтоновой системы уравнений в точке равновесия, мы докажем некоторые общеизвестные основные свойства множителей для этих уравнений1 (4). В этом случае уравнения имеют следующий вид:
t-Ш' ?=? <‘=1’•••¦">• (11>
где Н — вещественная аналитическая функция от п = 2га переменных pi, ... , qm. Если эти уравнения имеют в начале координат точку равновесия, то, очевидно, все первые частные производные функции Н обращаются в этой точке в нуль, и мы можем написать, пренебрегая постоянным слагаемым Н,
н = н2 + н% + ... ,
хСм. Poincare, Les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, т. 1, гл. 4. Его «характеристические показатели» соответствуют нашим «множителям».
86
Глава 3
где Hk — однородный полином степени к относительно ... , qm и где, в частности, имеем:
Мы можем считать, очевидно, aji = aij, Cij = cji, но bij будет, вообще говоря, отлично от bji.
Уравнения вариации получаются из уравнений (11), если мы заменим Н на Н2 и рг-, qi на (^, и могут быть написаны в явном виде, как уравнения:
которые представляют собою частный случай системы 2т линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
