Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
ах ~ сх = 2by, av - cv = -2Ъх.
Но эти формулы представляют собой дифференциальное уравнение Коши-Римана для сопряженных гармонических функций а —с, 26, и мы можем написать:
а — с = 2 иу, b = их,
где и — гармоническая функция.
Из этого следует, что квадратичные члены предполагаемого интеграла можно написать в виде:
1
\иух'2 + ихх'у' - iиуу12 + р(х'2 + у'2).
Принимая во внимание интеграл энергии, мы можем заменить последний член на 2/гу. Остальные квадратичные члены могут быть записаны так:
| Re[(uy - iux)(x' + гу')2],
где Re(^) означает вещественную часть ?.
Определим теперь аналитическую функцию g от х + %у соотношением
^ = —1—,(6) иу + гих
и совершим замену переменных
х + гу = g(x + iy), dt=\g\2dt,
сохраняющую нормальную форму уравнений. Мы видим, что написанные выше квадратичные члены, которые можно записать еще так:
gf2(dx + г dy)2
\gJ\4dt2
в новых переменных превращаются в
Вариационные принципы и их применение
61
Следовательно, наш интеграл примет более простой вид:
|(ж'2 - у'2) + dx' + еу' + / = к,
если мы будем писать для простоты ж, у, t вместо ж, у, t.
Далее, продифференцировав это уравнение по ?, как прежде, получим после исключения ж", у":
dxx'2 + (dy + ex)xf yf + eyyf2 + (fx + jx)x' +
+ (fy — 7 y)y' + djx + ejy = 0.
Члены первой степени должны тождественно обращаться в нуль, откуда находим:
7 = <р(х) + ф(у)\ / = -<р(х) + ф(у).
Но при таком виде у дифференциальные уравнения сразу интегрируемы.
Если обратимая лагранжева система с двумя степенями свободы и с постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, квадратичный относительно скоростей и существенно отличный от интеграла энергии, то преобразованием переменных мы можем добиться того, чтобы уравнения и интеграл энергии приняли вид
х" = <р'(х), у" = ф'(у), ^(х'2 + у12) =<р(х) + ф{у).
Квадратичный интеграл в таком случае будет i(x'2 - у'2) = tp{x) - ф{у) + к, и уравнения полностью интегрируемы, причем решение их имеет вид:
t = JL f dx = J- f dy
л/2 J yjy + kj2 y/2 J у/ф-к/2
Уравнения типа Лиувилля представляют собой существенно эквивалентный случай.
§ 10. Уравнения Гамильтона. Перейдем теперь к формулировке другой важной формы вариационного принципа, которая приведет нас к так называемому гамильтонову или каноническому виду уравнений динамики.
62
Глава 2
Напишем уравнение
ti
Л at nt
^ ;PjQj ~ ^ > Pjr‘j L((hi ... , qm, 7*i, ... , rm)j dt = 0,
в котором ri суть функции от pi, ... , рш, qiy ... , qm, определенные посредством т уравнений
Pi=Wi (* = !’••• ’ то)’(7)
в то время как pi, ... , рш, ql7 ... , qm варьируются независимо друг от друга. Это уравнение, как мы знаем, равносильно системе 2т дифференциальных уравнений, из которых первые га, получаемые варьированием pi, ... , рш, суть
d (dF\ dF _ / ( ®гз dL дгз\ _ / n
di{dti) ~Wi = ~qi + ri + ^1{PjWi~^jWi) =“^ + г*-°’
где подынтегральное выражение обозначено для краткости через F. Остальные т уравнений могут быть получены таким же образом и имеют вид:
р' + = о,
Рг dQi U’
где буквой Н обозначено выражение
га
Y. Pj 'ri ~ Ь-
j=i
Необходимо отметить, что получающиеся таким образом 2т дифференциальных уравнений все являются уравнениями парного порядка, так что общий интеграл их содержит 2т произвольных постоянных.
Из первых т уравнений следует, что функции р°, q?, для которых интеграл стационарен, обладают тем свойством, что г® = (q•))'. Будем считать теперь, что Г{ = qfiy так что наш интеграл обращается в интеграл Лагранжа
ti
J -^(#1? ¦ • • ? Qmi • • • ? Qm) dt-
to
Вариационные принципы и их применение
63
Вариации gi, ... , qm продолжают оставаться произвольными, но вариации pi, ... , рш определены формулой рг- = dL/dqПри этом, если вариации gi, ... , qm обращаются в ноль тождественно в окрестности точек ?о и ti, то и вариации pi обращаются в ноль в тех же окрестностях, так как
вдоль кривой qi = g°(f). Следовательно, g° удовлетворяет уравнениям Лагранжа, связанным с этим интегралом, а р® определяется из уравне-
НИИ rf = g?.
Таким образом каждое решение предложенной вариационной задачи приводит к некоторому решению уравнений Лагранжа. Обратное высказывание также справедливо^), потому что выбор р^ qi в любой момент t произволен и приводит к произвольной системе значений д^, д^.
Если главная функция лагранжевой системы есть L(gi, ... , qmy (/[?••• ? Qm) и если мы образуем функцию от pi, ... , рш, gl5 ... , qm. определенную формулой
то первоначальные уравнения S f L dt = 0 могут быть заменены эквивалентной системой уравнений относительно pi, qi7 а именно:
Отсюда
ш
(3)
3 =1
где переменные q[ исключаем при помощи уравнений
(4)
или иначе
dpi = _дН dqt = дН
dt dqi ’ dt dpi
(г = 1, , m).
(6)
64
Глава 2
Уравнения (6) называются уравнениями Гамильтона, а переменные pi — «обобщенными моментами». Пара переменных р*, qi есть пара «сопряженных» переменных. Кроме того следует отметить, что гамильтонова «главная функция» Н — не что иное, как полная энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и моменты. Из канонических уравнений (6) сразу же следует интеграл энергии Н = const.
