Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
17) Приводим точную формулировку этой важной теоремы.
Теорема. Какова бы ни была окрестность ? множества Мр и положительное число Sу существует L > 0 такое, что
(1)
К главе 7
391
для любой точки Р и любых вещественных ti и t2, удовлетворяющих условию
t2 ~t\ ^ Ц
при этом через W(P, Е, ?i, ?2) обозначена вероятность того, что Pt лежит в Ti к течение промежутка времени [?1, t2\ (см. предыдущее примечание).
18) Иначе говоря, доказываемая теорема (см. предыдущее примечание) верна при р = 1. В самом деле, определим N и Т согласно теореме, точно сформулированной в примечании 11. Положим
т _ NT L~^~
и рассмотрим движение точки Pt в течение промежутка времени [?]_, t2\, где t2 — t\ ^ L. Если через А обозначить множество всех t, при которых Pt принадлежит Е, то дополнение к А на числовой прямой содержится в сумме N интервалов длины Т. Следовательно,
t2 t\ mes(A[t1, t2]) = mes([?i, t2\ - A) ^ NT = LS ^ (?2 ^),
откуда, по определению вероятности (см. примечание 16), следует неравенство (1) примечания 17.
19) Строгое доказательство этой теоремы может быть основано на следующих леммах.
Лемма 1. Пусть F1 и F2 — два непересекающихся замкнутых множества пространства М, Р — точка этого пространства, Т > 0. Существует окрестность а точки Р такая, что при всяком г не превышающем Т по абсолютной величине, множество а, имеем пустое пересечение по крайней мере с одним из множеств F{.
Лемма 2. Пусть А и В — измеримые множества на числовой прямой г] > 0, С > 0? а < Ъ, с > 0. Если
mes(A[a, b]) ^ г,(Ъ - а)
и
mes(i?[? — с, t + с]) ^ 2(с при всяким t, принадлежащем А, то
mes(В[а, b]) ^ rj((b — а) —
392
Примечания редакции
Мы прежде всего докажем теорему, основываясь на этих леммах, а затем докажем и самые леммы.
В доказательстве теоремы мы будем пользоваться трансфинитной индукцией. Так как теорема верна при р = 1 (см. предыдущее примечание), то нам надо лишь доказать следующие два утверждения:
а) Из справедливости теоремы для некоторого Мр вытекает ее справедливость для Mp+i.
/3) Если q есть предельное порядковое число, то из справедливости теоремы для всех Мр (р < q) вытекает ее справедливость для Mq.
Доказательство утверждения (а). Допустим, что теорема верна для множества Мр, возьмем число 5 > 0 и рассмотрим произвольную окрестность ? множества Мр+ Обозначим через ?i множество всех точек пространства М, расстояние которых от 1 меньше, чем их же расстояние от М — ?. Тогда ?i также есть окрестность Мр+1 в силу замкнутости множества М — ? и ?i не пересекается с М — ? в силу замкнутости множества Мр+1, причем X означает замыкание множества X. Множество ?iМр есть поэтому окрестность Мр+1 в пространстве Мр.
Но Мр+1 связано с Мр совершенно так же, как М\ с М. Поэтому в силу уже доказанной справедливости теоремы при р = 1 существует Ь\ > 0 такое, что
W(P, ?ь Мр, tu fa) ^ 1 -
какова бы ни была точка Р, принадлежащая Мр, и каковы бы ни были числа ?]_, удовлетворяющие условию t2 — t\ ^ Li.
Обозначим теперь через 7 совокупность всех открытых множеств сг,
удовлетворяющих условию: при всяком г, не превосходящем — по абсолютной величине, множество сгТ не пересекается с одним из множеств Ei, М — Е. Так как последние два множества замкнуты и не пересекаются друг с другом, то согласно лемме 1 элементы а множества 7 покрывают все пространство М.
Обозначим, далее, через Е2 сумму всех элементов множества 7, пересекающихся с Мр. В силу только что сказанного, эти элементы покрывают Мр. Следовательно, ?2 есть окрестность Мр в пространстве М.
Согласно предположению, отсюда следует существование числа L2 > 0 такого, что
W(P, Еа, h, t2) 2 1 - f (1)
К главе 1
393
для всякой точки Р пространства М и всяких вещественных t\ и t2, удовлетворяющих условию t2 — ^1 ^ L2.
Положим теперь
L = max
Г Ь
27 52
и покажем, что так определенное число L обладает желаемым свойством.
Пусть, в самом деле,
t2~ti>L (2)
и Р — какая-либо точка пространства М.
Обозначим через А множество всех t, при которых Pt, принадлежит ?2, через В множество всех t, при которых Pt принадлежит Е. В силу неравенства (1) имеем:
(h ~ h),
(3)
так как t2 — t\ ^ L ^ L2.
Возьмем теперь произвольное ?, принадлежащее множеству А. По определению этого множества, точка Pt принадлежит ?2. По определению множества ?2, существует элемент сг множества 7, пересекающийся с Мр и содержащий Pt. Возьмем точку Q, принадлежащую сгМр, и обозначим через С множество всех г, при которых Qtau принадлежит Мр? 1. Согласно выбору числа Li, имеем:
w(q, мр, -Ц-, ^1
так как Q принадлежит Мр. Отсюда
mes С
Li Li
2 ’ 2
Я
2’
(4)
Рассмотрим теперь произвольное г, принадлежащее множеству
fi Li L\
2 ’ 2
Так как Q принадлежит сг, то QT принадлежит сгт. С другой стороны, QT принадлежит ?1, так как г принадлежит С. Следовательно, <тг
394
Примечания редакции
пересекается с Si и тем более с Si. А так как |т| ^ и <т есть эле-
мент множества 7, то стт не пересекается с М — S, т. е. содержится в S. Принимая, наконец, во внимание, что Pt принадлежит <т, заключаем отсюда, что Pt+T принадлежит S и что t + т принадлежит В.
