Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 4. Если Sa[Sa] — измеримое множество на сг, инвариантное под действием Т. за исключением, возможно, множества меры 0. и если для любой точки Р этого множества выполняется
lim sup ^ А > 0,
lim inf ^ A > 0
n—'I'
(18)
1D.Birkhoff, Proof of the ergodic theorem. proc. N. A. S., vol. 17, 1931, p. 404 408.
344
Приложения
тогда
Jsx Jsx
f t(P) dP^X I dP,
[ t(P) dP^X f dP. Js'x Jsx
(19)
Доказательство.
Рассмотрим только первый случай, поскольку доказательство второго случая в точности повторяет первый. По аналогии с предыдущей работой, определим различные измеримые множества t/i, t/2, • • • на S\ так, что для Р в Un
Величина е > 0 берется произвольно. Ясно, что для любой точки Р
для бесконечно многих значений п так, что все такие точки принадлежат хотя бы одному из множеств t/i, {/2, • • • Теперь, согласно рассуждениям в предыдущей работе, заключаем, что
где Sх = Ui + U2 +... + Uk. Однако, при всех значениях &, множество Shx является измеримой частью инвариантного множества S\ и увеличиваясь стремится к пределу U\ + U2 + • •., который содержит все точки множества S\. Следовательно, путем предельного перехода получим
при любых г > О, откуда выводится неравенство данной леммы.
Теорема о возвращении устанавливала результаты непосредственно из этой леммы.
Рассмотрим измеримое инвариантное множество точек Р на tr, для которых
t„(P) > п(А — е) (Р вне Ui, U2, ... , U„-i). (20)
из 5а
t„(P) > п(А - е)
(21)
Доказательство эргодической теоремы
345
для бесконечно большого числа значений п (см. предыдущую заметку). Это множество S\, к которому применима данная лемма. Аналогично, множество точек Р на сг, для которых
для бесконечно большого числа значений п, является множеством Sfx, подобному установленному в лемме.
Множество S\ сокращается, а множество Sx увеличивается вместе с сг, и оба множества, взятые вместе, составляют сг. Мера множества S\ должна стремиться к нулю по мере увеличения А. Иначе она бы стремилась к инвариантному измеримому множеству положительной меры S*, для которого неравенство леммы выполняется при А = А (А — произвольно большая положительная величина), отсюда получаем
при любых А, что не имеет смысла. Кроме того, когда А стремится к нулю, S\ становится пустым, поскольку существует наименьшее время пересечения Aq. Аналогично, Sx увеличивается вместе с А от множества нулевой меры при А < Ао до множества сг.
Тогда, если S\ и Sx не являются существенно дополняющими друг друга частями поверхности сг (одна из которых убывающая, а другая возрастающая), то они должны иметь, при определенных значениях А, общую измеримую компоненту Sx положительной меры, также инвариантную под действием Т.
Рассмотрим множество точек, принадлежащих Sд таких, что
для бесконечно большого числа значений п. Они составляют инвариантное измеримое подмножество SXfl множества SXy которое должно иметь меру 0 при любых таких \i. Иначе неравенства леммы дают одновременно
которые противоречат друг другу.
Следовательно, делаем вывод, что все точки Р из Sx, за исключением точек множества меры 0, удовлетворяют неравенству
tn{P) < п\
(22)
tn(P) > пц (ц> А)
346
Приложения
при любых (i> X и при достаточно больших п = пр, т.е.
lim sup —-— ^ Л.
п-t оо
Также делаем вывод, что для всех точек из 5д, с точностью до точек множества меры 0, имеем
lim inf ^ 5> Л.
п—УОО '''
Отсюда следует, что для точек Р из 5д, с обычным исключением,
lim tn^ = А. (23)
п—^ОО
Два таких множества 5д, принадлежащих различным Л, явно различны, за исключением множества меры 0. Следовательно, может существовать только счетное множество Sд* (г = 1, 2, ...) из таких множеств, так как каждое из них имеет положительную меру. За исключением значений А;, величины A, S'x и S\ являются дополняющими друг друга частями а без учета множества меры 0.
Выберем теперь любые два значения А, например А, ц с условием А < /i, не принадлежащие этому счетному множеству и рассмотрим точки из S\, которые не принадлежат Sц. Они составляют инвариантное измеримое множество S\такое, что для любой точки Р этого множества
t (Р)
X ^ lim sup —/i, (24)
n V rv~! * V
а также
>oo
поскольку S\?/1 — тождественна с частью множества S^ вне S\. Делаем вывод, что tn(P)/n колеблется между А и /1 при п, стремящемся к оо, для всех точек Р из 33 исключением множества меры 0.
Выбирая множество значений таких, что А, ц находятся достаточно близко друг к другу, делаем вывод, что для всех точек на <т, за исключением множества меры 0, колебание tn(P)/n, когда п становится бесконечным, меньше произвольного S > 0.
Доказательство эргодической теоремы
347
Теперь очевидно, что сформулированная теорема возвращения верна.
Следует также заметить, что если tn/P обозначает время до /i-ого пересечения при уменьшающемся времени, то такой же результат справедлив, если п стремится к ±оо с тем же пределом, исключая множество точек Р меры 0. Это сразу следует из того, что (24) может быть записано в виде
\ ^ 1* tn(P) ^
Л ^ lim sup —-— ^ /i,
n—ЮС 11
где Р из заменяется на ТП(Р), и (25) можно придать соответствующий вид.
