Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, получается полное обозрение всех типов движения и их взаимоотношений, как и следовало ожидать в такой интегрируемой проблеме(2).
2. Частица на гладкой, замкнутой, выпуклой поверхности.
Многообразие состояний в этом случае, очевидно, замкнуто. Однако для таких общих выпуклых поверхностей нет оснований ожидать группировки движений в замкнутые семейства, как в случае эллипсоида.
Некоторые проблемы динамики
321
Строение секущей поверхности и преобразования Т здесь несколько сложнее, чем в предыдущей задаче. Прежде всего наглядным образом усматривается, что существует кратчайшая длина для замкнутой кривой, такой, что выпуклое тело пролезает сквозь эту кривую. Кривая G этой длины должна быть натянута вокруг поверхности, и в этом положении она образует замкнутую геодезическую линию. Состояния движения, соответствующие пересечению кривой G, образуют две секущие поверхности надлежащего типа с относящимися к ним преобразованиями Т. Полное рассмотрение движений в произвольно заданном случае кажется почти невозможным, так как бесконечные процессы, которые при этом участвуют, нельзя фактически провести. В действительности мы могли бы получить очень хорошее представление об этом, если бы знали все инвариантные области на S.
Однако кажется почти несомненным, что в общем случае таких областей на S не существует. В этом случае можно доказать: а) что существует бесконечное плотное в себе множество периодических движений; Ь) что асимптотические движения всех мыслимых типов всюду плотны; с) что существуют движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Таким образом, мы и здесь получим довольно удовлетворительный обзор типов движения и их взаимоотношений. Разумеется, здесь мы имеем дело с более сложным случаем, чем в случае интегрируемом(3).
3. Частица на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривизны.
Чтобы построить такой пример, рассмотрим поверхность
z2 = 1 — е2 sin2 i^sin2 ^у (е > 1),
где ж, у, z — прямоугольные координаты и где мы принимаем, что все точки
(х + 2&7Г, у + 21тт) (к, / = 0, ±1, =Ь2, ...)
соответствуют одной и той же точке поверхности. Это допущение законно, так как все преобразования
х = х + 2&7Г, у = у + 21тг
переводят поверхность в самое себя. Фундаментальной областью является квадрат плоскости х, у:
О ^ х < 27г, 0 ^ у < 27г.
Дальнейшее рассмотрение немедленно показывает, что кривизна везде отрицательна, за исключением точек, лежащих над и под сторонами квадратов, и что поверхность имеет род 2. Далее, здесь существует
322
Приложения
одна и только одна геодезическая линия АВ, соединяющая заданную точку А с заданной точкой В и непрерывно деформируемая в заданную кривую АВ. Таким же образом усматривается, что существует одна и только одна замкнутая геодезическая линия заданного типа.
Этот пример имеет совершенно другой характер, чем два предыдущих, так как здесь не существует периодических движений устойчивого типа. Как легко доказать, в этом случае существует не только всюду плотное множество периодических движений, но и другие типы рекуррентных движений, а также движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Здесь имеется алгоритм, дающий возможность обозреть все движения.
В этом случае кажется невозможным построить полную секущую поверхность с соответствующим точечным преобразованием Т. Несмотря на это, природа движений известна почти в такой же степени, как в периодическом случае(4).
Три предыдущих примера были геодезического типа. Это не является, однако, действительным ограничением, так как все обычные динамические задачи могут быть формулированы как геодезические.
4. Задача трех тел.
Здесь мы будем считать данными десять постоянных интегрирования, соответствующих десяти известным интегралам. Мы допустим далее, что не все три постоянные площадей равны нулю.
Многообразие состояний надо здесь рассматривать как открытое семимерное, так как координаты не ограничены. Возможность соударения всех трех тел исключена, а соударение только двух тел, как впервые показал Сундман, является устранимой особенностью.
Важный факт состоит в следующем: кривая движения этого многообразия состояний, содержащая точку, для которой все три расстояния малы, должна при возрастании или убывании времени уходить в бесконечность. В единственном, с качественной точки зрения трудном случае полная энергия недостаточна для того, чтобы бесконечно удалить все тела друг от друга. В этом случае одно и только одно тело удаляется от двух других. На этих основаниях в многообразии состояний должны существовать три течения из бесконечности в бесконечность. Можно думать, что в общем случае все точки этого «моря» приносятся одним из этих течений, чтобы потом опять в одном из них уйти в бесконечность. Только некоторые периодические, рекуррентные и асимптотические к ним движения могут быть другого типа(5).
В этих четырех примерах я упомянул лишь о некоторых из важнейших до сих пор известных свойств. Более глубокое рассмотрение дало бы нам дальнейшие результаты, касающиеся природы и распределения возможных движений.
