Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
имеют одинаковые знаки, а #(+)8 и ^(+)s Для оптических частот имеют
противоположные знаки (т.е. соседние частицы с массамито и М колеблются в
противофазе). Распределение амплитуд колебаний для случая N = 8, s = 2
показано на рис. 138, где на оси ординат отложены номера частиц, а на оси
абсцисс - соответствующие им амплитуды (а - для акустических и б - для
оптических колебаний).
Каким образом можно получить из результатов данной задачи предельный
случай ш = М (см. задачу 7.1)?
б) Нормальные колебания
232
Ответы и решения
[7.4
Рис. 138
где
.2 _ _1
т
lj2s = ± [К+ кт -к)2 + АКк cos2 ^ а определяется из уравнения
tg(27V + 1)уа = -ft + kk tgya) s = 1, 2, ..., TV,
о < <?s < у
Кривые для оптической и акустической ветвей частот представлены на рис.
139, а (при К > /с).
Как совершить переход к предельному случаю К = к?
в) Величина ips = jjl Д113 s = 1, 2, ..., TV получаем
2TV нор-
мальных колебаний и собственных частот, имеющих тот же вид, что и в
7.4]
§ 7. Колебания линейных цепочек
233
Рис. 139
пункте б) (рис. 139,6). Как найти недостающее и самое интересное
нормальное колебание Х2П = 0, x^n-iK = -X2n+ik, частота которого uiq =
K + k " "
лежит в "запрещенной зоне" между оптической и акустической
т
ветвями?
Рис. 140
Распределение амплитуд этого колебания показано на рис. 140, где на оси
абсцисс отложены номера частиц, а на оси ординат - соответствующие им
амплитуды колебаний. Частицы, имеющие четные номера, неподвижны, а
соседние частицы с нечетными номерами колеблются в противофазе с
амплитудами, экспоненциально затухающими при удалении от левого конца
цепочки ("поверхностный фонон").
234 Ответы и решения [7.5
7.5. а) Решение уравнений движения
тхп + к(2хп - хп-\ - хп+\) = 0, п = 1, 2, ..., N (1)
(дополнительные условия х$ = 0, жлг+i = acosyt) ищем в виде стоячих волн
хп = A sin nip cos yi так, чтобы сразу удовлетворить первому
дополнительному условию. Тогда из второго условия находим константу А = =
а/ sin(JV + l)ip, а из уравнении (1) - "волновой вектор" р стоячей волны
. n р ту2
sm f = ^F-
При у2 < установившиеся колебания
sin пр
~ ^ ¦ cosyi (2)
sin(JV + 1)р
имеют большую амплитуду, если знаменатель sin(JV + 1)р близок к нулю. Но
именно это условие и определяет спектр собственных частот ws (см. задачу
7.1), т. е. при этом мы имеем случай, близкий к резонансу, у " us.
При у <С и>\ = sin колебания (2) соответствуют медленному
растяжению и сжатию всех пружинок как целого;
л
хп = & jy ^ ^ cos
Если у2 > то, сделав в (2) замену р = -к - iip, получаем
хп = (-1 )N+1+na-Shn^ cosy t,
У J sh(JV + 1)ф ' '
где ch2 ^ = -ттр- Амплитуды колебаний частиц убывают (при пф 1 - ^ 4/С
экспоненциально) к левому концу цепочки. Естественность этого результата
особенно очевидна для у2 У> когда частота вынуждающей силы лежит гораздо
выше спектра нормальных частот. В этом случае крайняя правая частица
колеблется с малой амплитудой в противофазе с вынуждающей силой, a (N -
1)-я частица в первом приближении покоится. Затем можно
7.6] § 7. Колебания линейных цепочек 235
движение (N - 1)-й частицы рассматривать как вынужденное колебание,
вызванное вынуждающей силой большой частоты со стороны TV-й частицы, и
т.д.
Отметим, что в явлениях полного внутреннего отражения имеет место
аналогичное затухание волны (например, при отражении коротких радиоволн
от ионосферы).
Какой вид имеет установившееся колебание при у2 =
cos(N - n+l/2)tp
б) хп = а -----------------cos yt,
7 cos(iV + 1/2)у> '
¦ 2 Ч> mi2 2 ^ 4k
Sm 2 =^k ПР 7
1 Л\п sh{N -n + l/2)ip
x" = (-1) a ц/дг.т/ол/ с08^'
sh(iV + l/2)ip
2 Ф mi2 2 ^ 4/c
2 = IF ПРИ 7 > m '¦
7.6. Если частота вынуждающей силы лежит в области акустических
собственных частот 0 < у2 < ^ или в области оптических собственных
А/
частот Щ < у2 < ^ (см. задачу 7.4 а), то установившиеся колебания
sin(2n - 1)<?
Х2п-1 = --- cos yt,
sm(2n + 1 )ip
2k - my2 sin 2mp
X2n = /-----------к a ;----------;- cosyf,
у 2k - M72 sin(2JV + 1)<?
(2k - M"/2)(2k - my2 4fc2
стоте 7, лежащей в области акустических (оптических) собственных частот.
п v^.rv iv± 1 )\^.го 110 1) / •-" \
где cos (f = ------------------77----------1, а верхний (нижнии) знак
отвечает ча-
л 7 А
236 Ответы и решения [7.7
2k 9 2k
Для частот - < уz лежащих в "запрещенной зоне",
, v,N+n сЬ(2п - 1)ф
Х2п = d^i_co
v 7 V М72 - ch(2JV + 1)ф f
"u2 _ (2к ~ m72)(^72 - Щ
^ . T 9 1
4fc
9 2A*
и для частот 7> лежащих выше границы оптическом ветви,
sh(2n - 1)х Х2п~1=а sh(2N+l)XC08ltl
2 к - тх2 sh2nx
Х2п = ~0,\ / --------п-------------;------------;- C0S7t,
У 2к - м72 sh(2JV + 1)х
2 (Af72 - 2/c)(m72 - 2к)
ch * =-------------------------------772------------------------------'
4 к2
колебания затухают к левому концу цепочки.
7.7. а) Решение уравнений движения
тхп + к(2хп - - xn+i) = 0, п = 1, 2, ..., N - 1, (1)
ttinXn + к(2хк - xN-i) = 0 (2)
(дополнительное условие xq = 0) ищем в виде стоячих волн: хп = Asinrup
cos(uit + а), п = 1, 2, ..., N - 1, жлг = В cos(uit + а).
