Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
получаем
\ J Aej dV
При наличии внешнего электрического поля ёе (или сторонних полей)
получаем
<feP dV = ^ ^ Qa^ae
а
(qa и рае - заряд и потенциал во внешнем поле а-го проводника).
Варьирование дц 2 представляет собой, таким образом, произвольное
варьирование зарядов и токов, сопровождаемое соответствующим ему
варьированием потенциалов. Легко видеть, что при таком варьировании
должен быть справедлив принцип наименьшего действия.
4 м4
rot Ар dS = % / ЖЖS.
± J ё grad ip dV = -L J 82 dV,
150 Ответы и решения [4.22
4.22. a) L = Щ- - ^ + U(q2 - qi);
6w = ^!_ ?!_.
> 2 2(7'
", + 5**'- А - А - *Чг1'
ml2 <Ъ2 5?о2 г<2
4.23. a) L = - ----------1------ h mgl cos уз
2 2 1 2С(р)'
q\ т - mx2 , ^?{x)q2 рх2 ,
b)L-- + - _+mffa; _
4.24. Пусть уз - угол поворота рамки вокруг оси АВ, отсчитываемый от
направления магнитного поля, q - ток в рамке (для него положительным
считается направление от А к D). Функция Лагранжа системы
L = ^та2ф2 + Tj-^Q2 + Жа2с[ sin ip.
Интегралы движения - энергия
Е = |та2ф2 + ^S?q2 (1)
и импульс, сопряженный циклической координате q и имеющий смысл полного
магнитного потока через рамку,
Щг = i?q + Же}2 sin уз = Фо. dq
Поэтому ток в рамке однозначно определяется ее положением
q = (Фо - Жа2 sin уз) j!?.
Подставляя это значение q в (1), получаем
Е = ^та2ф2 + Пэфф(уз), Um(p) = (Ф0 - Жа2 siny>)2/2i?. (2)
Таким образом, задача о движении системы сводится к одномерной.
Рассмотрим подробнее случай 0 < Фо < Ж а2. График Е/Эфф(уз) для этого
случая приведен на рис. 114. Видно, что при Е > Umax = (Фо + + Жа2)2/25?
движение рамки представляет собой вращение, причем ф является
периодической функцией времени с периодом
4.25] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 151
Рис. 114
При [/тах > Е > (Фо - Жа2)2 /2ё? = Um рамка совершает периодические
колебания в интервале углов р\ < р < тт - р\, где р\ = arcsin
Фо - V2??E Жа2
причем при Е -> [/тах период движения возрастает до бесконечности (см.
задачу 1.5). При 0 < Е < Um возможны колебания либо в интервале р\ < р <
р2, либо в интервале 7Г - < р < тт - pi, где
Р2 = arcsm ¦
Фп
л/WE
Жа2
Как изменится по сравнению с описанным характер движения рамки, если она
обладает малым сопротивлением?
4.25. а) Уравнения движения системы можно получить из функции Лагранжа с
добавкой, учитывающей связь (см. [4], § 2.4)
т* 171 I -2 I -2\ ,\/ 2\
L = - (х + z ) - mgy + A(z - ах ), где А - зависящий от времени множитель
Лагранжа. Уравнения движения
птх = -2\ах, m.z - m.g = А
(1)
(2)
вместе с уравнением связи z = ах полностью определяют движение частицы. В
правой стороне уравнений (1), (2) стоят компоненты силы реакции по
соответствующим осям Rx = -2Аах и Rz = А. Воспользовавшись уравнением
связи, легко выразить их через координату и скорость частицы:
Rr = -2 axRz
Rz =
(2 ах2 - mg)m
m
¦ 4 ax
152 Ответы и решения [4.26
( тг - mg cos р - тгф2 = А,
< тг2ф + 2тггф + mgr sin р = О,
[ г = I.
Сила реакции направлена вдоль г и равна
Л = - mg cos р - т1ф2.
4.26.
L* = Щ{г2ф2 + г2) + mgr cos ip + A (ip - Ш);
А = 2гпггП + rrigr sin ГIt - обобщенная сила, отвечающего координате <р
(момент силы).
S
4.27. а)Я = -Ц + ^&Д*.
1=1
б) Закон преобразования левых частей уравнений движения приведен в задаче
4.3:
d dL _ dL _ dqk / d dL _ dL \ dtQQi dQi ^ dQi\dtdqk dqk)'
Таким же должен быть и закон преобразования правых частей:
R, = Е (1)
Если в закон преобразования координат не входит явно время, то скорости
преобразуются по закону
\' dqi ¦
q'-\dQkQk'
к
обратному (1).
Иначе говоря, компоненты силы Rk образуют ковариантный вектор, в то время
как компоненты скорости - контравариантный вектор в s-мерном пространстве
(см. [2], § 83).
Таким образом, зная силы реакции связей и трения в декартовых
координатах, можно определить силы Щ в любых обобщенных координатах. В
частности, если силы трения выражаются через диссипативную функцию BF
Ri = - тр-, то преобразование F сводится к замене переменных.
4.29] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 153
4.28. Указанные в условии уравнения получаем, исключая Ар из
уравнений
= Х" Д = 1
dt dqp dqp >•••>>
d dL dL _ ST' \ и _ I 1
/3=1
и учитывая, что
dL _ dL , V" dL L
dqn dqn ^dqpPn '
_ 9.L \ ' \ ' dL dbpm .
<9<?n dqn ^ ^ dqp dqn Qm'
(3=1 m=r+1 M
Таким образом, уравнения движения системы с неголономными связями отнюдь
не совпадают с уравнениями Лагранжа, хотя уравнения связи и позволяют
исключить из функции Лагранжа некоторые координаты и скорости.
4.29. а) Учитывая, что qn входит в Ln и Ln+1, получаем уравнения Лагранжа
d dLn dLn dLn dLn+i______________________
Л2 Л - Л ^ ЛТд T - ЛТд л \Aqn - Qn ~ Qn-i)- (1)
dt dqn dqn d(Aqn) d{Aqn+1)
При a -> 0
1 dLn дА? 1 dLn dA?
a dqn d{dq/dty a dqn dq '
1 Г dLn dLn+i I g g<? ald(Aqn) d(Aqn+1) dxd(dq/dxY
так что уравнения (1) переходят в уравнение
д dA? d dA? = d!?_
dt d(dq/dt) dx d(dq/dx) dq
(2)
154 Ответы и решения [4.30
Здесь производные d/dt и д/дх относятся к функции q(x, t) и ее
