Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Правая поверхность линзы описывается уравнением сферы радиусом T1:
x* + y*+z2r = rl.
Здесь zr — координата произвольной точки на правой поверхности линзы. Решая уравнение относительно zr, получаем
zr = (rj —яа —уа)1/2. (6.1)
Аналогично левая поверхность описывается уравнением сферы радиусом г2\
где Zi — координата произвольной точки на левой поверхности линзы, a Z1 — координата центра кривизны левой поверхности; они связаны следующим соотношением:
2, = *1-(г|-*а-Л1Л- (6.2)
Толщина материала линзы, через которую проходит световая волна, зависит от X и у, а именно:
Т(х, y) = Zr-zl = {r\-x>-y*)ll'-Zl + {r\-x*-y*il\ (6.3)
После прохождения линзы в месте с толщиной T волна будет испытывать фазовый сдвиг, равный
д 2яТ 2ппТ /а /\
Афі=-— =--—, (6.4)
где X' — длина волны в материале линзы; п — показатель преломления линзы (относительно воздуха); X = пХ' — длина волны в воздухе. (Знак «минус» соответствует уменьшению фазы при увеличении расстояния от источника.)
Путь в воздухе, который проходит световая волна между плоскостями z = Z2 и z = Z3, равен d — Т. Ему соответствует фазовый сдвиг
Аф2= _*L(d_r), (6.5)
СФЕРИЧЕСКАЯ ЛИНЗА
135
где d = z3 — Z2. Полный фазовый сдвиг при прохождении волны от Z2 до Z3 выражается суммой
Дф = Аф1 + Дф2^ -^(n-l)T-^-d. (6.6)
Мы можем опустить последний член в (6.6), так как он не зависит от X и у и представляет собой фазовый сдвиг, постоянный по всей плоскости ху при z = Z3. Тогда (6.6) принимает вид
Лф =--^-(/.-1) Г (я, у). (6.7)
Подставляя теперь в (6.7) выражение (6.3) для T (х, у), получаем Аф= -^¦(n-l)[(rl-xt-yi)1,t + (ri-xi-yi)1,t]. (6.8)
Здесь, как и прежде, мы опустили не зависящую от х и у часть фазового сдвига + (2я/л) Z1. Чтобы получить искомое соотношение между аг и az, заменим квадратные скобки в (6.8) их разложениями, в которых сохраним члены только первого порядка; тогда
{Г1 _ х* _ j,2)V. « Г1 (і _ uf+^L) , (6.9)
(ті -х*- у')1/2 « r2 (1 - ^±f-) . (6.10)
Такое параксиальное приближение справедливо, если (х2 + У2) <С <^ г\ или (х2 + у2) <^ г\. Опять опуская фазовые сдвиги, не зависящие от X и у, получаем вместо (6.8)
= Т<»-1>(^Г+^) + (б-")
Произведение (п — 1) (1Vr1 + 1/г2) связано с фокусным расстоянием / тонкой линзы известной формулой (см., например, [6.1])
f = (*-l) (-^) , (6.12)
и фазовый сдвиг теперь можно записать в виде
Дф = -^(я2 + і/2). (6.13)
Если рассматриваемая линза достаточно тонкая и изменяет только фазу падающего на нее света, то на основе (6.13) мы можем получить соответствующее линзе комплексное пропускание t (х, у). Его двумерное распределение в плоскости ху, проходящей через
136 ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ CO СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
центр линзы, описывается выражением
t (z,y) = ехр (гАф) = ехр [-Щ (х2 + г/2) ] .
(6.14)
Комплексная амплитуда света аг справа от линзы непосредственно вблизи нее равна произведению пропускания t (х, у) и комплексной амплитуды света, падающего на линзу слева:
Если сравнить зависящее от х и у распределение фазовой модуляции Дф, описываемое выражением (6.13), с фазовыми распределениями, описываемыми выражениями (3.3), (3.4) или (3.26), то видно, что оно в приближении первого порядка соответствует сферической волне, сходящейся в точку на оси z, расположенную на расстоянии / от линзы (/ > 0).
§ 2. Простейшая оптическая система
Рассмотрим теперь оптические системы, состоящие из тонких линз и свободных промежутков между ними. Самые разнообразные оптические системы, например лупа, микроскоп, телескоп, действительно не содержат иных элементов, кроме линз и свободных промежутков. (Читателю, знакомому с материалом гл. 5, не покажется странным включение свободного пространства в число элементов оптической системы.) Рассмотрим сначала очень простую оптическую систему, которая, однако, способна выполнять операцию преобразования Фурье. Это поможет нам понять принцип работы более сложных систем, которые будут рассмотрены в следующем параграфе. Интересующая нас система изображена на фиг. 6.2. Она состоит из сферической линзы с фокусным расстоянием /, помещенной в плоскости z = 0, и расположенного вплотную к ней транспаранта с комплексным амплитудным пропусканием t (хи у і). На линзу падает распространяющаяся в положительном направлении оси z плоская волна. Ее комплексная амплитуда слева непосредственно вблизи линзы равна щ. Определим комплексную амплитуду в плоскости z = /.
Согласно (6.15), комплексная амплитуда ar(x1? Zy1) справа от линзы непосредственно вблизи нее описывается формулой
Затем волна проходит через транспарант, и ее комплексная амплитуда сразу за транспарантом выражается произведением
(6.15)
(6.16)
&t (хи у і) = аг (хи уі) t (X1, Zy1) =
(6.17)
ПРОСТЕЙШАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
137
[Если линза тонкая, то совершенно неважно, справа или слева от нее находится транспарант. В любом случае произведение (6.17) будет состоять из одних и тех же сомножителей.] Справа от транспаранта волна распространяется в свободном пространстве. Комплексную амплитуду волны в плоскости z=f можно выразить через ее амплитуду в плоскости Z = O либо в координатной области, либо в области пространственных частот (см. гл. 5).
