Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
OO
j а* (и) s (х + и) du ZD А* (|) S (?). (4.18)
ДРУГИЕ ВИДЫ СООТВЕТСТВИЯ ОПЕРАЦИЙ
111
Интеграл слева называется кросс-корреляцией функций а (х) и s (я) и может быть записан в виде
OO
с(х)= j а* (и) s (х-{- и) du = a* (#)*s(:r), (4.19)
— OO
где символ ? означает операцию корреляции. Заметим, что операция корреляции не является коммутативной, она отличается от операции свертки тем, что для ее нахождения берется комплексно-сопряженная функция'а* (х) и функция s (х), а не ее зеркальное отражение относительно оси ординат. Соотношение (4.18) означает, что фуръе-образ кросс-корреляции двух функций есть произведение комплексно-сопряженного фуръе-образа одной функции и фуръе-образа другой. Если в (4.19) а (х) = s (х), то с (х) называется автокорреляцией.
б. Операция сдвига
Смещение функции в координатной области приводит не к смещению соответствующей функции (ее фурье-образа) в частотной области, а к умножению фурье-образа несмещенной функции на фазовый множитель, фаза которого является линейной функцией частоты:
а (х — с) zd А (?) ехр (2пЦс). (4.20)
Соотношение (4.20) используется для описания оптических схем опознавания образов. Если мы теперь произведем смещение функции в частотной области, то найдем, что в координатной области это приведет к умножению соответствующей функции (обратного фурье-образа) на фазовый множитель, являющийся линейной функцией координат:
A (S —- с) сі а (х) ехр (—Imex). (4.21)
Заметим, что показатели экспоненты в соотношениях (4.20) и (4.21) отличаются знаками.
в. Теорема подобия
Если в координатной области произведено «сжатие» координат, то в частотной области это вызовет «растяжение» координат:
H(cx)zd^jA (І-)- (4.22)
г. Сложение и умножение на число
а(х) + Ь(х) zd A(I) + B(g) (4.23)
и
ca (х) ZDcA(I). (4.24)
112
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
д. Инверсия
Инверсия функции в координатной области вызывает инверсию в частотной области
а {—х) ZD А (—(4.25)
е. Фурье-образ комплексно-сопряженной функции и свойство симметрии
а* (± х) ZD А * (=f I). (4.26)
Если функция в координатной области действительная и четная, т. е. а (х) = а (—х), то из (4.25) следует, что А (?) = А (—?). Из соотношения (4.26) имеем A (? = А * (?). Следовательно,
с
ФИГ. 4.6. Пары преобразований Фурье, соответ-
ствующие соотношениям (4.27), (4.28), (4.31).
§ 4.
ДРУГИЕ ВИДЫ СООТВЕТСТВИЯ операций
ИЗ
действительной и четной функции в координатной области соответствует действительный и четный фурье-образ. С учетом этого Брэгг выбрал для своих экспериментов по рентгеновской микроскопии объекты, имеющие центр симметрии, т. е. объекты, структура которых описывается действительными четными функциями (см. гл. 2, § 1).
Если а (х) zd А (?) и а (х) —действительная функция, то, согласно (4.26), имеем а (х) zd А * (—?) и А (?) = А* (—?) Из последнего выражения следует, что функция А (?) эрмитова х). Следова-
+ t8<e--f->
ФИГ. 4.7.
Пары преобразований Фурье, соответствующие соотношениям (4.32)-(4.34).
г) См. [4.6].— Прим. перев.
8-0990
114
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
тельно, фурье-образом действительной в координатной области функции является эрмитова функция. Это значит, что фурье-образ действительного сигнала можно полностью определить, если известны его частоты в положительной области, и при решении задач, в которых рассматриваются действительные сигналы (например, электрические), можно ограничиться только этими частотами.
§ 5. Некоторые соответствия функций
Ниже приводятся наиболее важные пары преобразований Фурье; большая часть из них изображена на фиг. 4.6 и фиг. 4.7. В каждой из этих пар возможна взаимная замена переменных х и Е, за исключением соотношений (4.29) и (4.30), являющихся наиболее простыми примерами операции сдвига, а также соотношения (4.33)
1 / ?2 \
ехр( — псх2) zd-^ ехр у—пс) • (4-27)
6(.t)=d1, (4.28)
б (х + с) zd ехр (— 2пЦс), (4.29)
ехр (2nicx) ZD 8(1 +с), (4.30)
sin TiCX 1 / ? \ ,/ ол\
-ZD —rect —I , 4.31)
TiCX с \ С J V /
cos псх => ±-6 + + Тб(^—f)» (4-32> 8іпяс* = 4-6(*—г)-Тб(& + т)» (4-33)
rect
(-E-)=*^. (4.34)
В соотношении (4.34) функции rect (г/2с) и CJ1 (2ncv)/v, где г2 = X2 + У2 и V2 = I2 + Ц2, обладают осевой симметрией; через обозначена функция Бесселя первого рода первого порядка.
ЛИТЕРАТУРА
115
ЛИТЕРАТУРА
4.1. BRACEWELL R., The Fourier Transform and Its Applications, New York, 1965.
4.2. PAPOULIS A., The Fourier Integral and Its Applications, New York, 1962.
4.3. JENNISON R. C, Fourier Transforms, Oxford, 1961.
4.4. JAHNKE E., EMDE F., Tables of Functions, 4th ed., New York, 1945. (Имеется перевод первого издания: Е. ЯНКЕ, Ф. ЭМДЕ, Таблицы функций, M.—JI., 1949.)
4.5. CAMPBELL G. A., FOSTER R. M., Fourier Integrals for Practical Applications, New Jersey, 1961.
4.6*. СМИРНОВ В. И., Курс высшей математики, т. 2, 3, M., 1967.
4.7*. ГУДМЕН ДЖ., Введение в фурье-оптику, изд-во «Мир», 1970.
4.8*. ЯНКЕ E., ЭМДЕ Ф., ЛЕШ Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, M., 1968. 4.9*. ХАРКЕВИЧ А. А., Спектры и анализ, M., 1962.
