Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Проведем теперь количественное рассмотрение двумерных голограмм. Предположим, что область, в которой комплексная амплитуда объекта а (х, у) не равна нулю, ограничена в пространстве:
|ж|<^, |y|<i^ = ?^p.. (19.20)
Освещая голограмму, записанную соответствующим образом, мы хотим получить волновой фронт, комплексная амплитуда которого А (I, г|) является фурье-образом амплитуды а (х, у). Поскольку необходимо восстановить А (|, т\) по вычисленным дискретным значениям этой функции, следует указать это в нашем математическом представлении А (|, rj). С этой целью можно видоизменить выражение (19.12). В приведенном выше виде оно отображает пространственную функцию, фурье-образ которой ограничен по спектру. Если заменить | на х и rj на г/, то эта формула будет описывать пространственно-частотную функцию, пространственный образ которой ограничен в пространстве. Итак, пространственный двумерный аналог выражения (19.12) имеет вид
А (6, 4) = 22^(^ тЧ
\ ^макс хмакс /
Sin (я&Смакс —nm) х
sin(jtrjxMaKC — JW)
ятрмако—ял ' \ - )
40-0990
626
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ ГЛ. 19.
где (т, п) обозначает точку отсчета в плоскости пространственного спектра. Для выполнения обратного фурье-преобразования функции A (?, Tj) применяется объектив, в задней фокальной плоскости которого получается изображение исходной пространственной функции объекта а (х, у). С помощью соотношений (4.31) и (4.21) мы получаем для а (х, у) = If ~х [А (?, т])] следующее выражение:
а (я, у) = (—-—)2 rect rect (~—) X
v v' \ *макс / V *макс / \ *макс /
ї-і \ #макс ^макс /L \ ^макс #макс / J
m п
(19.22)
Функцию а (я, у) в (19.22) можно рассматривать как комплексную амплитуду изображения объекта, восстановленную идеальной фурье-голограммой, синтезированной на вычислительной машине.
с
Отверстие
1 Точка ^/отсчета
Pmn д?
ФИГ. 19.6. Небольшой участок голограммы, синте-
зированной на вычислительной машине.
Синтезированная голограмма, которую качественно можно» описать как непрозрачный экран с проделанным в нем множеством малых отверстий, математически описывается двумерной матрицей б-функций H (?, т]). Предположим, что H (?, г]) освещается внеосевой плоской волной, фаза которой зависит только от |г как показано на фиг. 19.5. Представим б-функции через матрицы точек отсчетов, для которых было вычислено значение фурье-образа объекта. Точки отсчетов на плоскости пространственных частот находятся на равных расстояниях Ag = An1 по осям ? и ц +
ДВОИЧНЫЕ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ
627
Поскольку фаза освещающей волны меняется только по направлению I, фазовое кодирование эффективно только по направлению S- и выполняется посредством смещения данного отверстия от связанной с ним точки отсчета (тА%, яД?) на малое расстояние ртп Ag в направлении оси ?¦ (фиг. 19.6). Следовательно, для матрицы отверстий H (?, г]) можно написать
H (g, ту) = 2 53 ВтпЬ [I - (т + ртп) АШ -б (T1 - пД?). (19.23)
m п
Попытаемся установить условия, при которых комплексная амплитуда изображения, восстановленного голограммой^? (?, п), эквивалента амплитуде а (х, у), описываемой выражением (19.22).
ФИГ. 19.7. Схема освещения фурье-голограммы,.
синтезированной на вычислительной машине, и восстановления изображения в задней фокальной плоскости линзы l2.
Если отверстия малы по сравнению с А?, то справедливо приближенное описание их как совокупности б-функций. Сила б-функ-ций Втп в таком случае пропорциональна площади отверстия. Освещение голограммы H (?, rj) внеосевой плоской волной, исходящей от точечного источника, расположенного в точке с координатами (х — х0, у = 0) в пространственной плоскости (фиг. 19.7), создает в плоскости голограммы комплексную амплитуду
W (6, г\) = ех$ (2mx0t) H(I, Л) =
= ехр {27IiX0I) S S ВтпЬ Ц—(т + ртп) Ag] б (ц — nAQ.
т п
(19.24)
В задней фокальной плоскости линзы L2 (фиг. 19.7) получаем обратный фурье-образ амплитуды W. С учетом соотношений (4.20)
40*
628
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ ГЛ. 19.
и (4.30) имеем
w (X9 i/HjF-1 [W а л)] =
= S S Втп ехр [ — 2кі (т + ртп) (х — X0) Ag] ехр (— IniynAQ.
т п
(19.25)
Если дискретные значения фурье-образа вычисляются при максимальном интервале Д?, определяемом теоремой отсчетов, то получаем
Ag = -^-. (19.26)
При подстановке последнего значения в формулу (19.25) пространственная функция w приобретает вид
w(*, л=2 SєхрГ-2ni ("+рги"о)1ж
^-1 L жмакс J
т п
X ехр ( -2ш-^_\. (19.27)
Голограмма обладает нужными свойствами, если амплитуда света w(#, у) дифрагированного ею в плоскость изображения, совпадает с комплексной амплитудой исходного объекта а (X1 у) описываемой выражением (19.22).
Величина функции w (X1 у) [выражение (19.27)] равна величине функции а (X1 у) [выражение (19.22)], если
?m„=(_J_)2|A(-^-, -2-)1, (19.28)
\ ^макс / I V жмакс жмакс / I
т. е. если площадь малого отверстия пропорциональна абсолютному значению амплитуды фурье-образа. За исключением приращения фазы 2пртп (х/хМЗіКС) в (19.27), фазы функций w (X1 у) в (19.27) и а (X1 у) в (19.22) равны, когда
