Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
2) mg cos а - Q = ;
/дв ^торм ~i~ mg sin а - 0.
С учетом Рторы = kQ получим:
1) U = m
[A^gcosa - gsinaj;
2) /Дв - m ^ cos а -
- g sin aj.
Проанализируем оба результата.
1) При (geosa - -1 = 0 получается формально
/дв = ± mg sin a.
104
Но очевидно, что этого быть не может, ибо если
g cosct -у=0,
то, согласно (J), Q = 0. Но если Q = 0, то движущее трение тоже
равно нулю, как и всякое другое трение.
2) В случае спуска автомобиля с моста при
k (g cos a - yj <^g sin a
получится /ДВ<С0, что означает вращение колес в обратную сто-
рону, т. е. трение "движущее" становится "тормозящим".
В чем же казус?
Очевидно, задача сформулирована некорректно. Надо было
четко сформулировать, при каких углах a v = const. Действи-
тельно, не может же автомобиль двигаться, да еще с постоянной
скоростью вертикально, что должно было бы произойти при
a = 90°.
Значит, при больших а задача теряет смысл. Очевидно, задача
Х)^
обретает определенность при gcosa-или ПРИ cos a ~gr>
т. е. при достаточно малых а.
Кроме того, чтобы fSB было действительно движущим, т. е.
/лв>0 и при спуске с моста, необходимо
k (g cos a - у j > g sin a,
что приводит к требованию
/ sin сЛ ~ vг
g[COSa На-
значит, должно быть: 1) угол а достаточно мал; 2) трение каче-
ния достаточно большим: 3) скорость автомобиля достаточно ма-
лой; 4) радиус кривизны моста
достаточно велик.
Вот сколько надо было сде-
лать оговорок, чтобы задача
стала определенной и не полу-
чилось бы казуса!
Задача 72
С вершины полусферы сколь-
зит шайба без трения. Показать,
исходя из второго закона Ньютона, что шайба оторвется, не
доходя до горизонтального диаметра (рис. 94),
105
Решение
Отрыв шайбы означает Q = 0. В проекции на 7 имеем
mg cos а - Q = ^г~ • (1)
При движении шайбы возрастает, mg cos а убывает. Чтобы
возрастало, необходимо, чтобы разность (mg cos а - Q) тоже
возрастала, несмотря на убывание mg cos а. Но это возможно лишь при
убывании Q более быстром, чем mg cos а. Так как mg cos а обращается
в нуль лишь при а = 90°, то Q должно обратиться в нуль раньше, ибо
разность (mg cos а - Q) должна из-за
пг<и%
-- быть всегда положительной. г
Для нахождения места отрыва необходимо знать v. Так как
движение происходит под действием переменных сил, то v найдем из
закона энергии, который в данном случае (Q работы не совершает,
трения нет) имеет вид
Wo=W или mgh - (2)
Решая (1) и (2) совместно, получим при Q = 0
2 gh
g cos a =-y-,
и так как
г - h , г
cos а- , то Л = ^-.
Г о
Задача 73
Шайба массой т скользит без трения с высоты Н по желобу,
переходящему в петлю радиуса г. Найти силу давления Q шайбы
на опору в точке, определенной углом а (рис. 95). При каком значении
а произойдет отрыв?
106
Решение
Очевидно, что
mg sina -|-Q = -¦; mgH
= mgr (1 -|-sina)-f-iy-. Исключая отсюда vi,
находим
Q = mg
2 H - r (1 -)- sin a)
Так как условие отрыва Q = 0, то
2 !Н
sin а ~
"з Ir"
1 I •
¦ sin
4
Задача 74
С каким угловым ускорением в вертикальной плоскости дол-
жен вращаться невесомый стержень с массой т на конце, чтобы
он разорвался, проходя нижнее положение через время t от
начала движения (рис. 96) из нижнего же положения? Стержень
выдерживает усилие не больше
T"veA = nmg. Длина стержня /, он
мало растяжим, вращение равноуско-
ренное.
Решение
Так как стержень практически
не растяжим, то r=l = const.
В проекции на г имеем в нижнем
положении
mg (п-1 ) = mu)V и <i) = a)0-f-p*,
и так как ш0 = 0, то g (п - 1) = j
откуда
р=/
g(n - В
it*
Видно, что ответ не зависит от массы груза т, но зависит от
п
1 пред
Р '
Задача 75
Две звезды массами и т2 находятся на постоянном расстоянии I
друг от друга. Каков характер их движения (рис. 97)?
107
Решение
Так как между звездами действуют силы взаимного притяжения,
то каждая из них должна двигаться ускоренно. Но так как по условию
расстояние между ними постоянно, то ускорение должно быть
нормальным к их скоростям и, значит, каждая из звезд должна
двигаться по окружности, причем обе окружности должны иметь
общий центр (называемый центром масс систем).
Найдем его положение и пе-
риоды обращения звезд,
считая систему замкнутой.
Очевидно, что имеем в
проекции на /
fi = 1ща\; Ft = nifCb,
так как /71 = /га (по третьему
закону), то тм - тща^ или
mi
или
ГГ
m?i
~г\
¦
-пи •
4п"г г
П
тггг
• п •
Но чтобы звезды были
все время на одинаковом рас-
стоянии /, проходящем через центр масс, необходимо 7\ = Та
и тогда
ПНГ\ - ГИаГа.
Так как -j- га = /, то получим
тЛ
' пи -f тг '
mj ' пи -f
тг'
Легко видеть, что у звезды с большей массой радиус вращения
меньший. Пусть пц^пц. Тогда из последних равенств видно, что т. е.
звезда с большей массой почти "топчется" на
месте (г\ очень мало), а звезда с малой массой движется по
