Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
где функции а+ (х), Ъ+ (х) удовлетворяют системе уравнений (7.3) с
граничными условиями
Ъ_ (-Ь_) = 0, а+ (Ь+) = 0.
(7.40)
Введем функции
R (х) = e2iKX' Я, (х)
"' ' а_ {х) + ' /
а+ (ж) Р-2ЫХ Ъ+ (х)
(7.41)
удовлетворяющие уравнениям
с начальными условиями
д_ (- ь_) = о, R+ (L+) = 0.
(7.43)
Введем обозначения
R_ (0) = Д_, R+ (0) = R+
(7.44)
b_ (0) = R_a_ (0), a+ (0) = R+b+(0),
(7.45)
238
п согласно (7.38) получаем
"-<°>=т^г§Ь М°) = гУй: - <7-")
Теперь задача для левого и правого слоев сводится к рассмотренной
ранее, но начальные условия при х = 0 как для а+, так и для Ь+,
описываемые формулами (7.45), (7.46), будут функционалами поля г (х) во
всем пространстве (- LЬ+). Можно было бы описанным выше способом найти
уравнение для плотности вероятностей величин Wx, W2, однако оно
становится в данном случае очень громоздким. Ограничимся поэтому
вычислением величины
/о = <Ж(0)> + <^2(0)> = < | а (0) |2 + | Ъ(0) |2> (7.47)
в предельном случае L_, L+^>- оо. Представляя R+ в виде
/ и, - 1
R±(x) = y ехр(гФ±)
и выполняя усреднение по фазам, которые равномерно распределены в
интервале (0, 2я), получаем
/о=2
и+ -f- "_
Величины и± (х) статистически независимы (в силу предполагаемой б-
коррелированности I (х)), в неограниченной среде для них существует
стационарное распределение вероятностей (2.9):
Рек (и) = |3ехр {- |3(u - 1)} (7.48)
Выполняя оставшееся усреднение, находим
/о = (2 - р + у) - 4 Р2е2Р Ei (- 2Р). (7-^9)
где Ei (х) - интегральная показательная функция. Используя
уравнения (7.19) и учитывая, что, в полном соответствии с (7.18),
, V П
бв(х) 2 | я | х4 '
можно найти следующие члены разложения по х для величин (Wi) и
аналогичные (7.31).
Рассмотрим теперь, для полноты картины, предельные случаи слабого (|3
¦<: 1) и сильного (Р ^>1) затухания. С помощью выражения (7.49) находим
Iq 1 4----------------я- ,
Р 1-
239
Для величины < | i?|2> = liin < | Л/J 2> легко получить равенство
Аналогичным образом для среднего значения интенсивности в точке
расположения источника
в предельном случае L_. L+ -> оо после усреднения по углам получаем
выражение
которое можно записать в виде однократного интеграла
Следовательно, для поведения </ (0)) в зависимости от параметра (3
получаем выражение
Выше было получено уравнение, описывающее распределение вероятностей
для интенсивностей встречных мод, которое содержало две дополнительные
переменные, учитывающие влияние границ на флуктуации волны. Полученное
уравнение, однако, оказывается очень сложным. Теория инвариантного
погружения дает прямой путь получения более простых уравнений *).
Пусть как и в § 1, слой случайно-неоднородной среды занимает часть
пространства 0 ^ ^ L и справа на него падает плоская
волна единичной интенсивности. Тогда решение задачи в области
< | R |2> = 1 + 2(3e2(3Ei (-2(3),
откуда для формул (7.31) имеем при (3 < 1
<^> = 1 + 2ух (1-2 In 2|3),
<И'Г2> = 1 + 2(3 In 2(3 - 2ух (1 + 21п2р), </ (я)) = 2 (1 +
р In 2|3) - 4 Dxf>In 2р,
а в случае j3 1
(Л i> - 1 + ^1 -j- -р- j , <И/ 2> ¦- тщ- (1 -Ь
2ух),
</(0)> = <|а(0) -ЬЬ(0)|2> = <^
(1 + Д+) (1 - д_) I*-
1 - д+й_ I.
>
(7.50).
0
</(0)> = 1+ у .
(7.51)
*) Приведенные ниже результаты получены совместно с Г. II.
Бабкиным.
240
О ^ х ^ L описывается формулой (1.19):
L
U(x) = {i -j- 7?L)exp{iA: j (/,' = x-f iy), (7.52)
где функция ij; (x) определяется равенством (1.17), а комплексный
коэффициент отражения Rl, как функция параметра L - толщины слоя,
описывается уравнением (1.14'):
dRT У,
-^j- = 2i(K i-iy) Rl+i jy-e(L)[i + Rl}2, R0 = 0. (7.53)
Следуя идеям теории инвариантного погружения, будем рассматривать
волновое поле U (х) как функцию двух переменных, х и L, где х L, т. е. U
= U (х, L). Тогда, дифференцируя формулу (7.52) по L и используя
равенства (1.17), (7.53), получаем урав-пенне
-¦ ^ L)- = (i* - Y) U -j- i (1 f Rl) U (x, L) (7.54)
с начальным условием
U (х, L) \L^X = 1 Rx, (7.55)
где функция Rx описывается уравнением (7.53). Уравнения (7.53) п (7.54)
являются уравнениями теории инвариантного погружения для данной задачи.
