Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
R (х) в виде (1.33)
R (х) - р (х) ехр {г'ф (,х)}, (4.1)
где функции р (х) и ф (х) удовлетворяют уравнению (1.34) (в отсутствие
поглощения):
d> к ¦&(х) (1 - Р2) sin ф, р (0) = | ^ . )'
|ё|
(4.2)
^¦¦¦(-¦¦¦ты- ::>?
а сама интенсивность волны связана с функциями р (х) и <р (х) формулой
1 = /о 1 Г. f1 Р2 (х) 2Р >х) С08ф}. (4. 3)
По-прежнему будем считать ё (х) гауссовской дельта-коррели-рованной
случайной функцией по х, т. е.
(ё (х) ё (х')У = 2а2 I 6 (х - х). (4.4)
211
В этом случае решение системы уравнений (4.2) {р (х), ср (*)} является
марковским процессом. Функция <р (х) при этом имеет структуру
ф (х) = ф (0) + 2 кх + ср (х), ф (0) = 0, (4.5)
а функции р (х) и ф (х) медленно меняются на расстояниях порядка длины
волны.
В данной задаче, помимо различных статистических параметров, Ихмеется
дополнительный параметр к0/к, который характеризует влияние краевого
условия при х = 0 на динамику волны. Случай к0 ~ к соответствует при этом
задаче о прохождении и отражении волны от слоя среды, в то время как
значение параметра к0/к -*¦ оо отвечает наличию зеркальной поверхности
при х = 0. Этот предельный случай приводит к краевому условию С/ (0) = 0
для уравнения (1.1). Другое предельное значение к0/к -0 описывает
отражение акустической волны от вакуума, а соответствующее краевое
условие для уравнения (1.1) имеет вид U' (0) = 0. В предыдущем параграфе
подробно рассматривалось условие к0 = = к. Очевидно, что при к0 ~ к,
кроме естественного усложнения формул, полученных выше, никаких новых
эффектов не появится. Рассмотрим теперь предельные случаи к0 -оо и к0 -0.
Как при к0-*¦ оо, так и при &0 -0 р (0) -1, и, следовательно, из
уравнения (4.2) получаем равенство
р (х) = 1 (ко оо, к0-> 0). (4.6)
В предыдущем параграфе вместо р (х) рассматривалась функция и (х),
определяемая формулой р (х) = Однако в силу
того, что значению р (х) = 1 соответствует значение и (х) = оо,
использовать ее здесь было бы неудобно. Таким образом, в выражении (4.3)
для интенсивности волны содержится неопределенность при к0 -оо, к0 -0.
Чтобы ее раскрыть, нам надо знать характер стремления величины р2 (х) к
единице. Это можно найти следующим образом. Уравнение (4.2) легко решить
относительно функции р (х). В результате получаем равенство
п<~\- ! 1 + Г; ехр 1 (l - f1 - <° ¦! Mil
V'-' [1 - Р (0>! ехр {г, [1-р (0)1 '
р(0) =
где
Следовательно,
к -
q(x) =~\dli(l)s тф(|). (4.8)
A n2/rN ¦ 4 [1-р*(0)]СХр <¦?(*)}______
(,q)
Р w- [(1 -f- р (0)) ехр {q (х)} + (1 -¦ р (О))]2 '
' • >
212
поэтому имеем асимптотики
Ik
4 - ехр{- q(x)} (к0-+ оо),
0 (4.10)
4 -у ехр {>- q (ж)} (/.'о -> 0).
Итак, в обоих предельных случаях формула (4.3) принимает простой вид:
I (х) = 210 ехр {- g (L) + q (ж)} [1 + cos {ср (0) + 2кх + ф (ж)}],
(4.11)
где функции q (х) и ф (х) описываются уравнениями = Л-s(x)
sin {ф (0) + 2кх + ф (ж)}, q (0) = 0,
(4.12)
-Ц- = -^-e(x)[i + cos {ф (0) + 2кх +ф (я)}], ф (0) =0.
Система уравнений (4.12) является частным случаем системы
(3.4.46). Так как величины q (х) и ф (х) оказываются медленно меняющимися
функциями на расстояниях порядка длины волны, при изучении различных
статистических характеристик целесообразно произвести усреднение по
быстро меняющимся на длине волны функциям. Учитывая, что решение задачи
(4.12) (q (х), ф (х)) является марковским процессом, такое усреднение
достаточно провести в уравнениях для плотности вероятностей перехода и
одноточечной плотности вероятностей.
Введем функцию
Фx(q, ф) = б (ф (я) - ф) б (q (х) - q), (4.13)
которая удовлетворяет стохастическому уравнению Лиувилля:
-?г= - -г Ьгsin0 + 'W(1 +cos 9)}ё (x) ф*' (4Л4)
где 0 = ф (0) + 2кх + ф. Усредняя уравнение (4.14) по ансамблю реализаций
s (х) стандартным путем, получаем уравнение Эйнштейна - Фоккера для
одноточечной плотности вероятностей
Рх (q, ф) = <Ф* (q, ф)>:
~W~ = 2D{~k~aine + ^r^ +cos0)}aP*(g,$) (4.15)
(D=^),
которое можно переписать в виде, более удобном для усреднения по быстро
меняющимся функциям:
^ = sin2 0'+! 2 sin 0 (! + cos 0) ~
~~SfcosQ^ +cos0) + '§r(l +COS0)2 +
+ '^"sin()<1+cose)}f*(?'f)- (4-16)
213
