Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
примера.
1. Пусть случайный процесс z (t) = п (0, t) - число скачков на
интервале (0, t), которые происходят в случайные моменты времени.
Возможная реализация этого процесса приведена на рис. 2. Процесс z it)
может принимать лишь целочисленные значения 0, 1,2, . . ., и при этом,
очевидно, рц (t, t0) = 0 при i < t ?0. Предполагая, далее, что
вероятность одного изменения состояния в интервале времени (t, t +
At) равна v At + о (At), a
вероятность отсутствия скачков равна 1 - v At + о (At), и пренебрегая
возможностью двух и более скачков на этом интервале *), можно записать
систему уравнений (4.17) для данного
*) Эти предположения определяют пуассоновский поток точек - моментов
времени возникновения скачков (см., например, [35]).
33
процесса, которая принимает вид
f^-vP0, ^-viMO + vPwW,
Ро(0) = 1, (0) = 0 ^ '
и совпадает с системой уравнений (3.13). При этом индекс i соответствует
значению п (0, t) = п.
2. В качестве второго примера рассмотрим простейший марковский
процесс с конечным числом состояний - телеграфный процесс, принимающий
значения z (t) = +а. Этот процесс мы рассматривали с других позиций в
предыдущем параграфе. Пусть вероятности перехода за малое время Дt (а -а)
и (-а -> а) равны v At -f- о (At), вероятности сохранить свои состояния
за время At, соответственно, равны 1 - v At -f- о (At), а вероятности
начальных состояний равны р°а и рЛ= 1 - р". В этом случае вероятности
перехода удовлетворяют системе (4.17) с параметрами аи = а22 = -v, а12 =
а21 = v, решение которой имеет вид
Рп (т) = Ры (т) = [1 + e_2VT],
\ (4-19)
Рш (Т) = Рп (т) = -g-fl - e-2vTl, r = t - to-
Аналогичным образом получаем и выражения для одноточечных вероятностей:
pa т)=4- +
Р2 (Т )=4г~
'rfi 1
Ра -
0 11
P"-tJ
(4.20)
Если в начальный момент времени процесс z (t) имеет фиксированное
значение z (t0) = а, то ра = 1 и (4.20) принимает вид
Pi (т)=4"[1 +e_2VT]' р2 (т)=4-[1 - e"2vT]- (4-20')
Эти распределения вероятностей выходят на стационарный режим при t -°о, а
именно: Рь2 (°°) = 1/2. Если же в начальный момент времени р" = р~"= 1/2,
то процесс z (t) остается стационарным и в другие моменты времени.
Отметим, что для данного процесса формулы (4.19) можно объединить в
одну формулу, а именно, согласно определению плотности вероятностей
перехода (4.4):
р (z, t | z0, t0) = <6 (z (t) - z) | z (t0) = z"> = 6 (z - z0)Pi (t) +
+ в (z + z0)P2 (t), (4.21)
где Pl (т) и P2 (t) даются формулами (4.20'), а т = t - t0. Исходя из
равенства (4.21), легко получить путем дифференцирования по t
дифференциальное уравнение для р (z, t | z0, t0), которое имеет
34
ВЙД
~ p(z, t j z0, h)= - \ (p (z, 11 z0, *0) - p(-z,t\ z0, i0)b (4.22)
Уравнение (4.22) следует решать с начальным условием Р (z, t0 | z0, t0) =
6 (z - z0).
Таким образом, плотность вероятностей перехода телеграфного процесса р
(z, t | z0, t0) удовлетворяет линейному операторному уравнению
-jfP(z, t j z0, t0) = Lzp(z, 11 z0, to), (4.23)
где
L*/(z) = -v{/(z) -/(-z)}. (4.24)
Отметим, что это общее свойство всех марковских процессов. Однако
записать уравнение для плотности вероятностей перехода в такой компактной
форме, как уравнение (4.23), не всегда удается. Так, в общем случае
произвольного марковского процесса с конечным числом состояний роль
оператора Lz играет матрица || atj || в (4.15) и сама функция р (z, t \
z0, t0) является матрицей-функцией. В этом случае для любой реализации
процесса z (t) выполняется тождество
lz (t) - zj Iz (t) - z2] . . . [z (t) - zj = 0. (4.25)
Раскрывая скобки в (4.25), мы видим, что имеется алгебраическая связь
между различными степенями процесса z (t), а именно:
zn (t) = (Zl + . . . z")z'l_1 (f) + . . . + (-l)ra+1zlZ2 ¦ • • (4.26)
Для телеграфного случайного процесса, т. е. процесса с двумя возможными
состояниями z (t) = +а, тождество (4.26) сильно упрощается:
z2 (t) = а2, (4.26')
что, как мы увидим далее, оказывается очень полезным для анализа
стохастических уравнений с флуктуациями параметров в виде телеграфного
процесса.
Рассмотрим теперь случай непрерывных марковских процессов. В этом
случае следствием уравнения Смолуховского (4.9) является следующее
операторное уравнение для плотности вероятностей перехода р (z, t | z0,
t0) (см. [39]):
оо
-^¦p(z, t\z0, *o) = ^~r--^-[?n(z, t)p(z, t\z0, г0)Ь (4.27)
где функции Вп (z, t) определяются с помощью равенств
Вп (z, t) = lim <{z (t + M) - z (t)}n | z (*)> = дг-о m
= lim -^-\dz [z (t + Дt) - z {t)]np(z, t -j- At I z, t). (4.28)
At-+0 nt J
35
