Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
появляющейся в задаче о распространении вол1< в
Рис. 19. Кривые 1/4/сгДа: F(rx, г2) = 1 для случаев; 1 - D (г) ~ r'^, J_
rs; 2 - D (г) ~ г'/з, гг || г3 - D \r) ~ [1 - ехр (-r2/2Z)], гг ± г2,
рк/2Р = 0,1. Кривая 4 соответствует 'френелевскому множителю при ггг2 =
16р2. Штриховые линии - изолинии = р/,, га = pjf.
турбулентной среде. Кривые построены на плоскости rl = | г± |, г2 = | г2
| для двух предельных случаев взаимной ориентации векторов Г\, г2: "*1 г2
= 0 и Wir2] = 0. Все остальные кривые располагаются между приведенными на
рисунке. В областях гх г2 и r2 Ti кривые (3.10) асимптотически
приближаются к пря-
296
мым, являющимся решениями уравнений к2Ах D (г2) = 1и
-^-kAxD(r1) = i. Это связано с тем, что комбинация
Q. (п, r2) = D (гх + Гг) + D (гг - ra) - 2?> (ri) (3.11)
обращается в нуль приг1^>г2, и в уравнении (3.10) в этой области остается
только первое слагаемое. Такой вид области, ограничи-
ваемой кривой k2AxF = 1, практически не зависит от выбора корреляционной
функции ВЕ. Если, например, построить эту область для функции Be(r) = ol
ехр {-г2/212}, то мы получим (при гхг2 = 0) кривую 3 на рис. 19, имеющую
такой же характер, что и для степенной функции D.
Сомножитель /а (Г\, ra) = ехр ji гг (r2 - p)J имеет характерный
масштаб Pf = (x/kyi* (радиус первой зоны Френеля). Поэтому, если
(х/ку/'^> Р/?, (3.12)
то внутри центральной части области, ограниченной кривой
(3.10), функция /2 меняется слабо, т. е. здесь обрезающим множителем
является функция Д. Однако при г1>2 пх/2крР период осцилляций
дифракционного множителя становится меньшим, чем рЛ (см. рис. 19),
поэтому на периферии этой области существенным множителем становится /2.
Отсюда длина^ полосы на рис. 19, существенной для интегрирования,
определяется множителем /2 и имеет порядок х/кр^. В связи с этим в задаче
появляется второй характерный масштаб
г0 = х/крк. (3.13)
Таким образом, можно считать, что при выполнении условия
(3.12) существенной в интеграле (3.9) является область, примыкающая к
гиперплоскостям г±= 0 и г8 = 0. При этом, чем больше параметр г01р^ =
x/kpt, тем уже эта область. Поэтому интеграл
(3.9) можно разбить на два, один из которых распространен на область ri
^ ph, а другой - на область г2 ^ р^. Но в первой области интегрирования
можно использовать разложение
A (ги г2) = ехр {- D (ri) + О (r2, ri)} ж
"exP{-^-Z)(n)}{l +J^-n(r2, Г1)+...}, (3.14)
так как изолинии функции Д здесь весьма близки к изолиниям функции ехр {-
-^-к2Ах D (ri)}, изображенным на рис. 19 штриховыми линиями. Точно так же
в области г2 ^рк можно положить
A (ru г,) " ехр j- J^L. D (r2)} jl + ?2 (n, r2) + . . .} .
(3.15)
29'f
j
Так как множители ехр {-у к2 Ах D (г12)} быстро убывают вне
полос ri<2 < pt, каждый из интегралов теперь можно распространить на
бесконечную область. В результате получаем асимптотическую формулу
<I (х> р') I (X, р")>= [~2^rf S dri dr2 ехр {* ~Г Гх (Га ~ х
кЬх D (п)] [l + (Ъ, Гг) + ¦¦¦ ]'+
[ехр
ехр
Й 2
к^-Щгъ)] [1+-^П(г1,>а) + Л.]}.я (3.16)
Заметим, что при этом дважды учитывается область интегрирования,
образуемая пересечением полос гг <; рк и г2 < р^,-. Учитываемый дважды
вклад можно оценить как
5 ~ (ihr) lfrtdr*'exv {- ~т~ fo) + D (г*)]} -
и он оказывается1 величиной более высокого порядка малости (по малому
параметру рц/г0 = крУх), чем основной учтенный член, а также меньшим
нескольких следующих членов. Тем не менее пренебрежение этим слагаемым не
позволяет получить еще более высокие члены асимптотического разложения.
Если использовать спектральное разложение (3.3) функции D в формуле
(3.11) для Q, то из (3.16) будем иметь
</ (х, р') I (х, р")> = 1 + ехр |--р- D (р)| +
+ л/с2Ах ^ dx Фе (х) ? 1 - cos J ехр jixp--~Y~ (r) ("Т")}
-f- пк^Ах^ dx Фе (х) ? 1 - cos ^хр - -J X
хехр{-^-/?(р--^)} + ... (3.17)
Если положить здесь р = р' - р" == 0 и учесть, что х Гд1, то для среднего
квадрата относительных флуктуаций интенсивности получаем
Р2 == 1 + лх2Ах ^ йхФе (х) х4 ex р |-к ~х D + - - - (3.18)
Пусть флуктуации е в неоднородном слое вызываются турбулентностью, так
что Фе(х) = АС1я~п13. Тогда (3.18) приводит к известному результату
[104]:
р2 = 1 + 0,429 ро4/5+ •• (3.19)
где ро = 0,563С1к716хъ1еАх - средний квадрат относительных флуктуаций
интенсивности, рассчитанный по методу плавных возмущений (см. (8.4.12)).
Приведенная выше ошибка б оказы-
.298
вается при этом порядка (Ро)_12/5, т- е- ПРИ Ро 1 мала по сравнению с
учтенным в (3.19) слагаемым.
Рассмотрим теперь корреляционную функцию интенсивности, которая,
