Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
упрощается и записывается в форме
П = Pj - Pi = Р-2 - Р2, >'2 = р2 - pi = р2 - Pi-
Помимо уравнений для средних значений произведения полей и (х,
PJ...M* (х, pj") с одинаковыми продольными координатами х, могут быть
получены уравнения и для функций <и (хъ р^... ...и* (хт, рш)> при
несовпадающих значениях х [122]. Граничные условия к этим уравнениям
содержат функции МП:Ш при совпадающих значениях продольного аргумента.
Покажем это на примере функции Г (х, рА; у, р2) - = (х, Pi) и*
(у, р2)>. Пусть для определенности х > у. Умно-
жая тогда уравнение (1.2) на и* (у, р2) и усредняя, получим
----7TF(r 1' ^)Г4, (2.13')
где
F (гг, гг) = 2D (п) + 2D(rt) - D (п -j- 1\) - D (гг - г2),
^ Г (х, pi; у, рг) =
= '2ГАР1Г(а'. Рь 2Л Рг) + i
Pi)u(x, рг)и*(у, р2)>. (2.15)
Используя теперь формулы (2.8), (2.4), (1.6) и учитывая условия
причинности (1.5), уравнение (2.15) можно переписать в виде
Уравнение (2.16) следует решать с условием
г (л-, РЬ у, Pa) = I'a (г/. Pi. Ра). (2.17)
где функция Гй(у, рь р2) = <ц (у, рх) и* (у, р2)> описывается уравнением
(2.12).
Аналогичным образом можно получать и уравнения для величин <8 (хи
Pi)... 8 (хп, рп) и {х'ъ pi)...и* (х'т, рт)>, описывающих корреляции поля
в (х, р) с решением задачи.
Уравнение (2.7') для среднего поля легко может быть решено. Его
решение имеет вид
(и(х, р)> = и0(х, р)ехр|----- л:j , (2.18)
где и"(х, р) - поле при отсутствии флуктуаций, а у = А (0) -
коэффициент экстинкции.
Можно в общем случае решить и уравнение для функции Г2. Это решение
было получено в работе [123] при исследовании уравнения переноса
излучения в малоугловом приближении (2.14). Позднее аналогичное решение
исследовалось в работах [110, 124]. Если в (2.14) произвести
преобразование Фурье по переменной R, которая не входит в коэффициенты
уравнения, то мы получим линейное дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка, которое легко решается, например, методом
характеристик. Это решение имеет вид
Г2(х, В, р) =
= \dV Vo (g. р - e-f-)exp \iqR - (p - g-|-)} > (2.19)
0
где To (q, p) - начальное значение функции когерентности при х - 0.
Для частного случая плоской падающей волны, когда Г2 (0, В, р) = I и0
I2, у0 (q, р) = I и0 I2 б (q), формула (2.19) приобретает простой вид:
Г2 (х, -К, р) = | и013 ехр {- ~ D (р)| . (2.19')
Функция Г2 определяет когерентность второго порядка. Из условия
-4*а*Л(р*) = 1 ¦ (2-20)
можно определить радиус когерентности для поля и (х, р).
При вычислении конкретных интегралов, связанных с корреляционной
функцией поля е (х, р), удобно перейти к спектральной
266
функции, определяемой равенствами
Вг{х, р)= \ dqdxrl>e(q, х) ехр {iqx -}- ixp},
1 (* (2-21)
Фе (q, х) - ^ dx dp Вг (х, р) ехр {- iqx - ixp}.
Если теперь воспользоваться приближением (2.4) и считать поле е (х, р)
статистически однородным и изотропным, то из (2.21) и определения функции
А (р) получаем-
А (р) = 2л ^ ёхФЕ(х) ехр {ixp}, Фе (х) = Фе(0, х).
Следовательно, в приближении дельта-коррелированности поля е (х, р)
<8(^i. Pi)e(z2, р2)> =
= 2л б (х - х\) ^ dx Фе (х) ехр {ix (рх - р2)}. (2.4')
Умножая равенство (2.4') на ехр {- ipipi - ipipi} п ннтегри-
(_Л)
руя по всему пространству рь р2, получаем равенство
<еР1 {хх) ер, (хг)У = 2л б {хх - х2) б (рх + р2) Фе (рх),
(2.21')
удобное для практического применения. Здесь ер (х) =
j dp е (х> Р) ехр {- iрр).
Отметим, что если поле е (х, р) отлично от нуля только в слое (О, Ах), а
при х Ах е = 0, то вместо формулы (2.21') получаем выражение
<еР1(;Г])еР2 {Х*)У = 2л: б (хх - хг) 0 {Ах - хх) б (р\ + р2) Ф? (рх).
(2.21")
Если рассмотреть флуктуации е (х, р), вызываемые турбулентными
пульсациями температуры, то в значительном интервале волновых чисел
трехмерная спектральная плотность Фе (х) имеет вид
"IV(X.)- Л< ;у. 11 (*min<x<>w)> (2.22)
где А - 0,033 - численная константа, С\ - структурная характеристика
флуктуаций диэлектрической проницаемости, зависящая от внешних параметров
потока [30]. В этом случае функция D (р) вычисляется:
D (р) = 2л j dxФЕ(и) [1 - cos хр] = Л'Сер5/3,
где N = ЗбяМГ (7/6)/15-2'/3 Г (11/6) = 1,46. Подставляя это выражение в
(2.19), можно рассчитать как функцию Г (х, R, р), так и среднюю
интенсивность волны (х, М)У.
267
щ
В качестве примера рассмотрим пучок, распределение поля в начальном
сечепии которого имеет вид
(р) = м0 ехр {- + { Ау-} ; (2.23)
здесь а - эффективная ширина пучка, F - расстояние до центра излучения
