Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
причем
с/Ф Л dtQ - ЪхаиМ
= -гаи + / -----------------dt =
dr dr Ъг
r<xu /1 1 \ "I 1 1 \
- + Pi?"(----------------)=Pi/-(------)•
D VP.. p/ \p" p, /
лз условия
(-)-¦
\Xoo / Poo
Далее из условия сохранения массы следует с/х о dx
(15.22)
(15.23)
где плотность, устанавливающаяся в конечном итоге после достижения
равновесия с учетом poo = р i, равна
Pi
Р оо
1 +
7-1 Лр,
(15.24)
7 Pi
Как уже отмечалось, условие р"> = Pi является обычным для этого метода.
Поэтому полный прирост тепловой функции равен
р / 1 1\ ф'
Л = -(- + -) +-/ - * (1525)
2 \ Pi р/ p + /?t Р
Прирост гравитационного потенциала определяется соотношениями
/1 1 \ f GM(------------} (при а = 2),
GM in - (при а = 1), (15.26)
ffo (/*оо /*)
(при а = 1), (при а = 0).
Здесь индекс 00 означает, что значение величины г или р берется на момент
времени t = tж для частицы, которая в момент времени t = t0 имела
координату г = г0. Величины без индекса соответствуют параметрам газа
непосредственно на фронте ударной волны.
Интеграл в соотношении (15.25) находится из условия, что непосредственно
после сжатия газа ударной волной (переход 1-2 на рис. 37) происходит его
адиабатическое расширение до состояния р" = Pi (переход 2-3). И поскольку
р2 V] = рж VZ> = Р i УХ, то в конечном итоге из (15.25) следует
I I -г jjг -
(15.27)
h =
где г =-
Л Т1 +
-U г? +
т\г -
- г* - 1
Рг Р1
Р 2
Р 1
Pi
7- 1 7 + 1
94
Рис. 37. К расчету прироста тепловой функции на фронте ударной волны.
Метод Бринкли - Кирквуда неоднократно использовался при обсуждении
проблемы нагрева звездных хромосфер (и в первую очередь солнечной)
периодическими ударными волнами. При этом иногда предполагалось, что в
атмосфере полностью восстанавливается первоначальное термодинамическое
состояние, т.е. что рж - рх и рж = р\ (Vж = Vx), а вся приобретенная
элементом газа энергия излучается. Расчеты прироста тепловой функции
производились в двух предположениях: 1) после сжатия на фронте ударной
волны сначала происходит адиабатическое расширение газа до
первоначального давления, после чего газ в результате высвечивания
возвращается к исходной плотности ("цикл Шацмана" - переходы 1-2-3-1 на
рис. 37); 2) после сжатия на фронте ударной волны газ сначала излучает
энергию (при р = рг) до тех пор, пока не достигает первоначальной
энтропии, после чего адиабатически расширяется до исходных значений
давления и плотности ("цикл Вейманна" - переходы 1-2-3 - /). Очевидно,
что в случае сильных ударных волн второй путь более соответствует реально
происходящим процессам. Соответственные выражения для h имеют вид
Р 2 -
nSh
И JH [Р2 Рз1
Lpi Р2 J 7- ЧР2 Рз 1
(15.28)
hw -
(15.28')
Для предельно слабой ударной волны при ? < 1 из (15.28) и (15.28')
следует h
(у + 1 )а] 1273
Г1.
(15.29)
Уместно отметить, что в плоском случае (а = 0) последнее слагаемое
уравнения (15.21) компенсируется членом, учитывающим изменение
гравитационного потенциала. В свою очередь и при произвольной симметрии в
ряде случаев потерями энергии на смещение лагранжевых слоев относительно
начального положения можно пренебречь. Поэтому при обсуждении метода
Бринкли - Кирквуда обычно речь идет о двух дифференциальных уравнениях -
первым определяется изменение давления на фронте волны, вторым -
уменьшение энергии волны за счет изменения внутренней энергии газа.
При заданных начальных условиях система (15.19)-(15.23) решается обычными
численными методами, причем предварительно ее удобно свести к
безразмерным переменным.
95
Если t - Р > dp - dPl
"-------- TO P = P\\. -- = Pi - + I И
Pi dr dr dr
P2 1 + X? , ai ?
^_= ------------------- D = a, V1 + X| ц = -.-•¦¦¦--> (15.30)
Pi 1+(1-X)$ 7VTT\f
7 + 1
где X = ------, После несложных преобразований находим также, что
27
2 + X? Х?
12 = ------- , G =
2(1+Х?) 1+?
В итоге уравнение (15.19) сводится к виду
di_
=_________________________________________vbr*Px?________________________
__________
dr 7ИМг)[4 + 2(2 + Х)? + Х(3-Х)$2]
а| 2 + 2(2 - X) ? + (2 - ЗХ + 2Х2) |2 г 4 + 2(2 + X) ? + Х(3 - X)
? ~
[3 + (3 + 2Х) | + Х(3 - X) ?2 ] (1 + $) (1 + Х$) t
.
к ? сгр;
4 + 2(2 + Х)? + Х(3-Х)?2 р 1 dr
(15.31)
Отсюда нетрудно получить приближенное решение, соответствующее сильной
ударной волне (W (г) -+°°, ? > 1), так как в данном случае уравнение
(15.3М сводится к виду
</? ol 2 - ЗХ + 2Х2
dr г Х(3 - X)
Интегрируя, получаем соотношение
а(2-ЗХ + 2Х2) ^ 1
Г 1 1 d\np{
{ _ 1 {---------------------------
L Аг(3 - X) J dr
х(з- х) Р( *(з-х) = const (15.32)
Учтем теперь, что
, 1
D - 1 +-
S г ~ 02Р| \
и, таким образом, находим из (15.32)
1 2 - Л. а(2 - ЗХ + 2 X2 )
D р, *2(3-Х)Г 2Х(3-Х) (15.33)
или, прир, -р*,
2-х а(2 - ЗХ + 2Ха )
D = constр, 2<3~*> г 2Х(3-Х) (15.34)
Таким образом, в случае сильной сферической ударной волны (а = 2) 5 7+14
имеем при у = - и X = = - следующую аппроксимационную
3 27 5
96
формулу: ^
3 а
D = const pi 11 г 4 . (15.35)
Если же ударная волна не является экстремально сильной, то уравнение
