Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в каждый член входит равное число операторов рождения и уничтожения.
Поскольку каждая полевая переменная имеет теперь свой собственный индекс
х, можно получить выражения
П
2 п
(И А'-\хк) п Л: V,, -
k = l 1=П + I
i' п 2 n 1
Sp pH А(-\хк) П A{+\Xl) , (8.11)
I l = tl+1 J
n
2 n
(8.12)
(8.13)
218
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
или различные смешанные формы из А, Е и Я. При этом мы взяли
соответствующие производные и воспользовались (поперечными!) уравнениями
Максвелла Е = -А и Н = V X А. Таким образом, все эти величины тесно
связаны друг с другом. Действительно, Глаубер в своем рассмотрении
использует скорости счета, определяемые выражением (8.12), а не (8.11).
На практике различие между этими двумя определениями невелико. Для
квазимонохроматического излучения они пропорциональны друг другу во всех
задачах. Вместе с тем выражение (8.13), по-видимому, наиболее подходит
(даже в квазимонохроматическом поле) для описания "-фотонных скоростей
счета в случае счетчика, в котором используются магнитные дипольные
переходы (такие переходы возникают за счет первого члена разложения А(г)
в ряд Тейлора вблизи центра атома). Для простоты мы и в дальнейшем
ограничимся рассмотрением корреляционных функций, полученных с помощью
поперечного вектора-потенциала.
Корреляционные функции смешанного порядка. Функции G<n' образуют,
очевидно, подсемейство в целой иерархии корреляционных функций G<n'т\ в
которых числа операторов рождения и уничтожения не обязательно совпадают.
Эти функции определяются как очевидные обобщения выражения (8.11):
G{n'm\xb ..., хп, хп+[, ..., хп+т) =
п п+т
II л'*' <*/>Ь
k=\ /=м+1
п п+т \
pH A(->(xft) II Л<+> (xt) ? (8.14)
4-1 l=n+1 )
и все являются средними значениями нормально упоря-
доченных операторов. Для многих целей удобно анализировать всю
совокупность корреляционных функций для того, чтобы получить информацию о
специальных корреляционных функциях G<(tm)' п\ относящихся к "-фотонным
корреляциям счета.
Все функции G<n'm> удовлетворяют довольно очевидным свойствам симметрии.
Эти функции полностью сим-
§ 1. КВАНТОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ 219
метричны по п переменным хи х2, ..., х" и, помимо этого, полностью
симметричны по т переменным хп+\, хп+2, ..., хп+т. Кроме того, очевидно,
имеет место соотношение
которое является отражением того факта, что И(+)(*)]"!" = = При п - т
последнее соотношение устанавли-
вает связь между зависимостью функции G(-r,'n'> от первой группы
переменных xh ..., хп и ее зависимостью от второй группы переменных хп+[,
..., х2п.
Поскольку мы рассматриваем свободное поле излучения, каждая из функций
G(n-m> по каждому из своих аргументов удовлетворяет волновому уравнению
свободного поля
Поведение функции G("'m> в различающиеся моменты времени можно получить,
зная ее значения в какой-то один общий момент, например при t = 0. Эти
свойства распространения выявляются наиболее четко, если сначала ввести
описание в терминах нормальных мод, как это было сделано в гл. 7.
Б. Разложение по модам
В соответствии с (7.179а) операторы уничтожения, отвечающие нормальным
модам (которые появляются при квантовании в "ящике" объемом L3), можно
представить в виде
ак (k, t) = е* (к) • а (к, t) =
220
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Сопряженное соотношение для соответствующих операторов рождения (Я, к)-й
моды имеет вид
Для простоты обозначений переменную, характеризующую моду, будем кратко
указывать с помощью индекса k; т. е. положим ak{t) = aK(k, t) и a|(0 =
aj(k, t).
Предположим теперь, что мы выполнили многократное преобразование функции
Фурье G<n'm> и произвели умножение на нужные векторы поляризации и
нормировочные множители. В результате мы, очевидно, придем к величине
S' (&i> t\> • • •> kn, tn, tn+1> • • •> kn+m> tn+m)
Зависимость от времени в этом выражении совершенно элементарна. В силу
(7.176а) имеем
ak(t) = ехр (- mkt) ак (0) = ехр (- mkt) ак, (8.19)
Это выражение наглядно демонстрирует тот факт, что все многовременное
поведение функции С<,г>>п) определяется значениями, которые она
принимает, если все временные аргументы положить равными нулю.
Следовательно, чтобы получить информацию об общей
aj(k, t) = еЛ (к) • а+(к, t) =
(8.18)
откуда следует
п
п+ш
§ !. КВАНТОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
221
(п,т)-й корреляционной функции, можно вообще опустить временные аргументы
и рассматривать выражение
Все нужные величины можно получить из выражения (8.21), взятого при t =
0. В полной аналогии с G<n-функции очевидно, симметричны по п
первым и
по т последним аргументам и удовлетворяют условию
В. Производящие функции
Информацию, содержащуюся во всех корреляционных функциях (8.21), можно
весьма удобным способом объединить, воспользовавшись нормально
упорядоченным производящим функционалом
Этот функционал определен для всех комплексных последовательностей {нД,
удовлетворяющих условию
Очевидно, что (8.23) содержит все корреляционные функции. Действительно,
дифференцированием функционала (8.23) получаем
