Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(5.80) - (5.82) определяют общую матрицу плотности в представлении
чисел заполнения.
§ 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенный анализ и особенно последний пример позволяют сделать выводы
двоякого рода. Прежде всего не только для одной или нескольких степеней
свободы, но и при бесконечном числе степеней свободы для построения
квантовой теории вполне достаточно
§ 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
125
определенного общепринятого сепарабельного гильбертова пространства (со
счетным базисом). Хотя в литературе встречаются утверждения
противоположного толка, несепарабельные пространства (с несчетным
базисом) не являются необходимыми для квантового рассмотрения, по крайней
мере если речь идет об интересующем нас классе задач. Далее,
последовательность матриц плотности можно попытаться обобщить на случай
бесконечного числа степеней свободы (К = оо) (как это можно сделать,
например, для последовательности матриц р(к), каждая из которых
соответствует первым К степеням свободы). Тогда на параметры можно
наложить такие ограничения, что предельная матрица будет также
представлять собой матрицу плотности. Простейшим рассмотренным примером
этого типа было многомерное пуассоновское распределение, на которое
налагалось ограничение (5.91).
Сделанный здесь вывод можно сформулировать и в более общем виде Предел
матриц плотности не обязательно должен представлять собой матрицу
плотности в обычном смысле, когда пределы определяются через пределы
ожидаемых значений соответствующих матриц. Эта особенность присуща отнюдь
не только проблемам, связанным с бесконечным числом степеней свободы,- с
ней мы сталкиваемся в самых простых ситуациях. Рассмотрим частицу,
которая свободно движется внутри ящика объемом Q < оо и гамильтониан
которой имеет вид Жо. = р2!2т. Для каждого значения объема Q тепловое
распределение
pG = exp ( - (5.99)
представляет собой матрицу плотности (ненормированную, но с
конечным следом), тогда как предельная мат-
рица
lim ра as Роо = exp ( - (5.100)
П-> оо
не является матрицей с конечным следом, хотя она и ограничена.
Физическая система, характеризуемая полной пространственной
трансляционной инвариантностью, не
126
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
может обладать точным тепловым распределением, описываемым матрицей
плотности. Для нас представляет особый интерес одна из таких систем, а
именно свободное поле излучения, заданное по всему пространству. Чтобы
такой системе отвечало распределение, физически имеющее смысл теплового
распределения (задача, весьма важная для нас), можно идти двумя путями, С
одной стороны, можно определить поле излучения во всем пространстве, но
требовать, чтобы оно было тепловым только в конечной области (например, в
пределах Млечного пути!), а в остальной части пространства вакуумно-
подобным. С другой стороны, можно представить себе конечный объем
квантования Q = L3 (кубический ящик) с периодическими граничными
условиями, являющийся в этом случае физическим пространством, в котором
рассматривается проблема. Мы будем, как это обычно принято, пользоваться
вторым способом, т. е. рассматривать конечные объемы квантования. Именно
в этом смысле поле излучения удовлетворяет условию (5.98) и обладает
тепловым распределением, определяемым матрицей плотности.
При использовании больших объемов квантования соответствующая матрица
плотности позволяет рассчитать средние значения большого числа физических
величин, которые во всех практических случаях не зависят от величины
объема. При этом при переходе к пределу бесконечного объема результаты не
только имеют смысл, но часто и упрощаются (как, например, при вычислении
средней тепловой энергии единицы объема). Некоторые из наших результатов,
касающиеся ожидаемых значений, приведены в форме, соответствующей
бесконечному объему квантования.
Наконец, следует отметить, что разрабатываемые в настоящее время в
квантовой статистической механике математические методы ') позволяют
непосредственно рассматривать тепловые состояния в бесконечных объ-
') Представление об обобщенных состояниях квантовых систем было введено
Сегалом [5.8]. Рассмотрение этих современных математических методов (С*-
алгебр) и их применение в квантовой теории дано также Гаагой и Каетлером
[5.9].
§ 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
127
емах. Это достигается путем обобщения понятия "состояний" системы, под
которыми подразумеваются теперь не только состояния, описываемые точными
матрицами плотности, но и состояния, описываемые последовательностью
точных матриц плотности, соответствующих конечным объемам. Физическая
интерпретация такого подхода аналогична интерпретации более известного (и
используемого нами) подхода, при котором различные ожидаемые значения
оцениваются сначала для системы, находящейся в большом объеме, а затем
совершается переход к пределу бесконечного объема.
6
Уравнения движения электромагнитного поля
§ 1. РАЗВИТИЕ ВО ВРЕМЕНИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
В предыдущей главе было подробно разъяснено, что состояние
