Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
заселенность Л/0 орбитали с в = 0. Хотя речь здесь идет всего только об
одной орбитали, значение Л/0 для газа бозонов может быть очень велико.
Это обстоятельство играет исключительно важную роль лишь для бозонных
газов. В дальнейшем мы будем называть N0 числом атомов сверхтекучей
компоненты, a Ne - числом атомов нормальной компоненты жидкого гелия II.
Основная особенность результатов, которые будут получены ниже, состоит в
том, что при низких температурах химический потенциал ц в энергетической
шкале расположен намного ближе к основной орбитали, чем первая
возбужденная орбиталь. Эта близость ц к основной орбитали приводит к
тому, что большая часть системы оказывается именно на ней.
Функцию распределения Бозе - Эйнштейна для орбитали с е = 0 можно
записать не только как (2), но и в виде
где Я зависит от температуры т.
Число частиц на всех возбужденных орбиталях растет как тэ,г; в самом
деле,
Здесь важен множитель т3/г, который определяет температурную зависимость
Ne.
При достаточно низких температурах число частиц в основном состоянии
будет очень велико. Согласно уравнению (8), для того чтобы N0 было много
больше единицы, К должно очень мало отличаться от единицы. Таким образом,
К с хорошей точностью может считаться постоянной в температурном
интервале существования жидкого гелия II, так как макроскопический
характер N0 "заставляет" К быть очень близкой к единице.
(8)
или, сделав замену х = е/т,
оо
(9)
*) Мы используем интегральную форму для заселенности возбужденных
орбиталей потому, что ни для одной из них нельзя говорить о
"макроскопической" заселенности.
ТЕМПЕРАТУРА БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИИ
235
При к = 1 для интеграла *) в (9) имеем
оо
Л
Таким образом, число атомов в возбужденных состояниях можно записать в
виде
.. 1,306 I// 2Мт \3/2 2,612 1/ ,,оч
^ = -4-1 наг) (12)
где квантовый объем, как и в гл. 11, равен
^Q-(-W-f'• <13)
Для определения относительной доли атомов на возбужденных орбиталях
разделим Ne на N:
Ne/N " 2,612 V/NVq = 2,6\2/cVQ, (14)
где с = N/V - концентрация. Приближение к л; 1 или к "
" 1 - 1 /N, которое ведет к (14), справедливо до тех пор, пока
в основном состоянии находится большое число атомов.
Температура бозе-конденсации
Определим температуру бозе-конденсации т0 как температуру, при которой
число атомов в возбужденных состояниях равно полному числу атомов [89].
Иными словами, Ne{to) = N. При температуре выше то заселенность основной
орбитали не является макроскопическим числом, а при температуре ниже то
она макроскопическая. Положим в (12) Ne = N и тогда для температуры
конденсации получаем
2лА2 f N V/>
т"- ЛГ L 2,612 V) '
(15)
*) Для вычисления этого интеграла запишем
<х> оо оо 00 / со \ 00
= \ = Z S d**,/,e's*-(Z7?r)S dyy',2e~y-
О О 5 = 1 о 4S=1 ' О
(10)
Бесконечную сумму легко найти; она равна 2,612. После замены у на и2
ОО
получим (см. (2.48)) 2 ^ duu2 ехр (- и2) = '/2 Vn .
236 ГЛ. 17. ФИЗИКА БОЗОНОВ. БОЗЕ КОНДЕНСАЦИЯ И ЖИДКИЙ Не*
Теперь (14) можно переписать в виде
NJN "(т/т0)'/!,
(16)
где N •
1,0
0,8
0,6
0,4
о,г
полное число атомов. Мы видим, что при температурах, •
меньших то, число атомов на возбужденных орбиталях меняется как т3/з
(рис. 17.3).
Температура бозе-конденсации т0 для бозонов сравнима с температурой Ферми
для фермионов
( Ь2 \ ( Зп2АГ V/s Тф ~ I 2М Л V ) •
Если массы частиц и их концентрации одинаковы, то
Т"
No V No+Ne, / / /
N
Сверят КОМГ емучая _ онеита \ N 7 /Hi V рмольиоя тдш юнента
\ НОМ!
N \
*ф
То
__ф
То
0,2
0,4 0,6
*/*о~
0,8 1,0
[Зя2 (2,612)]
4я
1,45. (17)
Рис. 17.3. Температурная зависимость относительного числа атомов на
основной орбитали Л70/Л7 и на возбужденных орбиталях Ne/N для
конденсированного бозе-газа.
Значение Г(r) для электронов в металле примерно равно
5-105К, тогда как вычисленное значение Г0 для атомов Не1 составляет
приблизительно 3 К. В данном случае значительное различие возникает
вследствие большой разницы в массах, а из-за различия в заселенностях
совершенно различно и физическое поведение бозонов и фермионов ниже Г0
или Тф.
Число частиц на основной орбитали легко найти из (16):
М0 = М-Ме = М[1~(т/т0),/!].
(18)
Заметим, что N может быть порядка 1022. Для т, даже намного меньших то,
на основной орбитали будет находиться большое число частиц (см. рис.
17.3). Как мы говорили, частицы на основной орбитали ниже то образуют
конденсированную, или сверхтекучую, фазу.
Температура конденсации в градусах Кельвина дается соотношением
т° ~ vim
(19)
Ем - молярный объем в см3 на 1
ТЕМПЕРАТУРА БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИИ
237
4; га-
вес. Для жидкого гелия Ум = 27,6 см3-моль-1 и М ним образом, Г0 = 3,1 К.
В жидком Не4 экспериментальное значение температуры перехода между
низкотемпературной фазой (Не II), обнаруживающей сверхтекучесть, и
высокотемпературной фазой (Не1), которая ведет себя как нормальная
жидкость, равно 2,17 К-
Задача 17.2. Энергия и теплоемкость при температуре ниже то. Для области
