Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
1,15 0,89671 0,53285 -0,38073 0,91358
1,20 0,88817 0,51722 -0,35838 0,87560
1,25 0,87937 0,50194 -0,33758 0,83952
1,30 0,87031 0,48702 -0,31818 0,80520
1,35 0,83102 0,47245 -0,30008 0,77253
1,40 0,85151 0,45824 -0,28315 0,74139
1,45 0,84178 0,44436 -0,26732 0,71168
1,50 0,83185 0,43083 -0,25248 0,68331
1,6 0,81143 0,40475 -0,22552 0,63027
1.7 0,79035 0,37998 -0,20173 0,58171
1,8 0,76869 0,35646 -0 18068 0,53714
1,9 0,74657 0,33416 -0,16201 0,49617
2,0 0,72406 0,31304 -0,14541 0,45845
2,1 0,70127 0,29304 -0,13063 0,42367
2,2 0,67827 0,27414 -0,11744 0,39158
2,3 0,65515 0,25629 -0,10565 0,36194
2.4 0,63200 0,23945 -0,09510 033455
2,5 0,60889 0,22356 -0,08565 0,30921
212 ГЛ. 15. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛАНКА ДЛЯ ФОТОНОВ
Продолжение
X х2ех X п (1 - е *) * ln( 1 е~х)
(ех- l)2 ех- 1 ех-\
2,6 0,58589 0,20861 -0,07718 0,28578
2,7 0,56307 0,19453 -0,06957 0,26410
2,8 0,54049 0,18129 -0,06274 0,24403
2,9 0,51820 0,16886 -0,05659 0,22545
3,0 0,49627 0,15719 -0,05107 0,20826
3,2 0,45363 0,13598 -0,04162 0,17760
3,4 0,41289 0,11739 -0,03394 0,15133
3,6 0,37429 0,10113 -0,02770 0,12883
3,8 0,33799 0,08695 -0,02262 0,10958
4,0 0,30409 0,07463 -0,01849 0,09311
4,2 0,27264 0,06394 -0,01511 0,07905
4,4 0,24363 0,05469 -0,01235 0,06705
4,6 0,21704 0,04671 -0,01010 0,05681
4,8 0,19277 0,03983 -0,00826 0,04809
5,0 0,17074 0,03392 -0,00676 0,04068
5,2 0,15083 0,02885 -0,00553 0,03438
5,4 0,13290 0,02450 -0,00453 0,02903
5,6 0,11683 0,02078 -0,00370 0,02449
5,8 0,10247 0,01761 -0,00303 0,02065
6,0 0,08968 0,01491 -0,00248 0,01739
Разрешая (7) относительно 1/т, находим
т-т'"(, + -д)-т['"(,+т)-'"(т)]' <а>
Для получения энтропии проинтегрируем равенство до/dU = 1/т:
о о
Здесь учтено, что в соответствии с (7) U = 0 при т = 0. Выполняя
интегрирование, получаем
а (Ц) = (1 + U/е) In (1 + U/e) - (U/e) In (U/e). (10>
Именно об этой форме записи энтропии идет речь в цитате из работы Планка,
приведенной в начале главы (с е = hv).
График зависимости a(U) от U изображен на рис. 15.3. Наклон кривой всегда
положителен, в отличие от случая системы с двумя состояниями,
рассмотренной в гл. 6. Таким образом, для гармонического осциллятора не
существует режима с отрицательной температурой. Это объясняется тем, что
здесь верхний предел для энергии отсутствует, тогда как для системы с
двумя состояниями такой предел существует. Далее имеем
. U/e = (n(e)) = n, . _
ПЛОТНОСТЬ ФОТОННЫХ мод
213
и, значит, для энтропии можно написать
а = (1 + п) In (1 + п) - п In п, (11)
где п означает (п(е)). Энтропия совокупности осцилляторов равна
сумме-
энтропий отдельных осцилляторов, т. е.
° " Z К1 + "/) 1п 0 + "/) " п!,п "/]• <12)
i
Подставив в соотношение (11) вместо п функцию распределения Планка (6),
после некоторых преобразований получим
°(т) = TTplWF) - Г ~ 1п (1 " ехр (~ Л(0/х))- (13)
Функция, стоящая в правой стороне этого равенства, протабулирована в-
табл. 15.1.
U/Леа
Рис. 15.3. Зависимость энтропии от энергии для осциллятора с частотой (D.
Рис. 15.4. Зависимость энтропии от температуры для осциллятора с частотой
(о.
График зависимости энтропии от температуры показан на рис. 15.4.
Плотность фотонных мод
Функция распределения Планка была первоначально введена для изучения
распределения энергии электромагнитного излучения, находящегося в
тепловом равновесии со стенками полости с температурой т. Такое излучение
называется тепловым излучением или излучением черного тела.
Для решения задачи о распределении энергии необходимо найти плотность
фотонных мод. В гл. 14 мы ввели функцию 3)(е), определенную как число
орбиталей на единичный энергетический интервал. Мы нашли общий вид 2) (е)
для частиц любого вида, выраженный через квантовое число п = (п\ + +
п\У2,
характеризующее орбиталь, соответствующую плоской волне в кубе:
0(e) = Чяуяп2-^-. (14)
214
ГЛ. 15. ФУНКЦИЯ распределения планка для фотонов
Для фотонов имеется два независимых направления *) поляризации для каждой
моды, так что у = 2.
Для фотонов несколько удобнее следующее определение:
Я) (со) = число фотонных мод на единичный
частотный интервал, (15)
где под частотой подразумевается круговая частота ш. По аналогии с (14)
сразу получаем
^}(сф
¦ л п
dn
da)
(i6)
Здесь S)(co)dco- число фотонных мод с частотами, лежащими между о и и +
da. В соотношении (16) п - значение квантового числа п (не путать с
заселенностью). Множитель dti/diо в (16) зависит от типа частиц (фотоны,
электроны и т. п.), с которыми мы имеем дело. Множитель пг не зависит от
типа частиц.
Для вычисления (16) необходимо знать dtildа для фотонов. Частота,
соответствующая фотонам, связана с квантовыми числами пх, пу, nz волновым
уравнением для электромагнитного излучения
( 32 . д' , 32 Л , 1 д2^П
V дх2 ду 'г дг2 )^п с'2 dt2 ' (^)
где с - скорость света, а ф может быть любой компонентой напряженности
электрического или магнитного поля.
Если, например, ф означает Ez, z-компоненту напряженности электрического
поля, то для излучения, заключенного в металлическую полость, имеющую
