Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
го квантового состояния данной системы.
Рассмотрим, например, низ-колежащие энергетические уровни одной частицы,
заключенной в куб со стороной L (рис. 1.2). Соответствующие волновые
функции выводятся в гл. 10. Там же вычисляются энергии, и результат
расчета имеет вид
-("
где М - масса частицы, nx, ny, tiz - целые числа. Степени вырождения
уровней, обозначенные буквой g, указаны на рисунке. Для орбитали с пх =
4, пу =1, nz= 1 имеем пх + п2и + п? = 18.
0
9 п9 Пг
4 5 / ! или 3 3 3
6 4 3 1
3 4 2 г
3 3 3 г
5 4 2 1
3 3 3 1
3 4 1 1
3 3 2 г
S 3 2 !
! 2 2 2
3 3 ( 1
3 2 2 /
3 2 ! /
/ / / ./
Рис. 1.2. Энергетические уровни, величины вырождения g и квантовые числа
/г*, Пу, nz частицы с нулевым спином, заключенной в куб. Квантовые
состояния этой системы обсуждаются в гл. 10, где идет речь об орбиталях
свободной частицы.
ГЛ. 1, КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
15
Еще для двух орбиталей с пх = 1, пу = 1, nz = 4 и пх = 1, пу = 4, tiz = 1
также получим + /г^ + /г- = 18, т. е. для соответствующего
энергетического уровня степень вырождения g - 3, что и показано на
рисунке.
Представляется разумным начать с изучения свойств простых модельных
систем, для которых элементарным способом можно точно вычислить энергии
ei(N). Одна из таких систем рассматривается в гл. 2 и затем более
детально - в гл. 4. Предположим, что выводы, полученные с помощью простой
модельной системы, справедливы для всех физических систем. Это весьма
решительный шаг, однако следствия нашего предположения оказываются в
хорошем согласии с экспериментом. Важность такой модельной системы
определяется в основном тем, что ее статистические и тепловые свойства
могут быть исследованы точно,
Глава 2
ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ, ДОПУСКАЮЩАЯ ТОЧНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Для более наглядного представления и для развития нашей физической
интуиции очень полезно иметь в своем распоряжении модель простой
многочастичной системы, позволяющую точно рассчитать все ее
статистические свойства. Мы неоднократно будем использовать одну из таких
моделей, чтобы наглядно представлять то, что в иных случаях скрыто за
высокой стеной абстракции. Под модельной системой мы будем понимать
систему, для которой можно точно и просто определить состояния, степени
вырождения и энергии. Повсюду в книге мы будем предполагать, что общие
статистические свойства, найденные для модельной системы, в той же мере
характерны и для реальной физической системы. Такое допущение приводит к
предсказаниям, которые во всех известных ситуациях согласуются с опытом.
Состояния модельной системы
Модельная система, изображенная на рис. 2.1, представляет собой N
обособленных элементарных магнитов, расположенных вдоль одной прямой в N
фиксированных точках. Величина магнитного момента каждого из элементарных
магнитов обозначена греческой буквой р.
Предполагается, что каждый момент может быть направлен либо вертикально
вверх, либо вертикально вниз. Под верхом мы подразумеваем положительное
направление оси г. Если магнит направлен вверх, то мы говорим, что
магнитный момент равен + р, если вниз, то магнитный момент равен -р.
Статистическое рассмотрение такой системы намного проще, чем изучение
идеального газа, и поэтому мы начинаем именно с нее. При рассмотрении
идеального газа возникают определенные трудности, но дальше, в гл. 11, мы
покажем, как их избежать. С нашей же моделью прямо связано поведение
линейного полимера (Приложение I) и решеточного газа (Приложение II).
Как показывают опыты с атомными пучками, частицы со спином Ь/2, например
электрон, нейтрон или протон, имеют две возможные ориентации спина или
магнитного момента вдоль фиксированной оси. В нашей модели мы выбрали
частицы с двумя ориентациями только для удобства вычислений.
Следовательно,
СОСТОЯНИЯ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
17
система, состоящая всего из одной такой частицы, обладает двумя
различными стационарными квантовыми состояниями -
I I I I I I I I I I
3 4 5 6 7
Номер элементарного магнита
Ю
Рис. 2.1. Модельная система из элементарных магнитов, расположенных в
фиксированных точках вдоль одной прямой, с магнитными моментами, равными
+р и -р.
Между магнитами нет взаимодействия, и внешнее поле отсутствует. Каждый
магнитный момент может быть ориентирован в двух направлениях - вверх или
вниз; поэгому имеется 210 различных конфигураций десяти магнитных
моментов, изображенных на рисунке. Если конфигурации выбираются путем
случайного процесса, то вероятность найти изображенную конкретную
конфигурацию равна 1/24
одним со спином, направленным вверх, и одним со спином, на-правленным
вниз. На рис. 2.2 показаны четыре состояния системы, состоящей из двух
частиц. Эти состояния можно продемонстрировать простым перебором. Для
больших значений N их удобно "получать" с помощью функций (2а).
Рассмотрим теперь N различных узлов, в каждом из которых находится момент
с возможными значениями ±р. Поскольку каждый момент может быть
ориентирован двумя способами с вероятностью, не зависящей от ориентации
