Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
представляющая собой важную составную часть диаграммной техники. Свертка
операторов описывает распространение частицы, не коррелированной с
другими частицами системы.
Для выхода за рамки теории возмущений необходимо обобщить понятие свертки
операторов, рассматривая распространение ча-
* -" = " -° -+* lCZ7 +
I I
•-1----1-• • • •
I
i. -!¦ i i " " i 1 " • • •
Рис. 31
стицы с учетом всевозможных ее корреляционных взаимодействий с остальными
частицами системы. Эти корреляции сводятся к тому, что частица всеми
возможными способами возбуждает систему, т. е. приводит к переходу того
или иного числа частиц через границу Ферми, а затем это возбуждение
снимается.
На графическом языке рассматриваемая функция распространения должна
объединять все диаграммы, соединяющие две заданные точки. Изображая
обобщенную функцию распространения жирной линией, можно написать
диаграммное равенство (рис. 30), означающее, что распространение частицы
с учетом взаимодействия сводится к распространению свободной частицы плюс
распространение частицы со всевозможными собственно энергетическими
вставками. На рис. 31 изображены некоторые 170
диаграммы, из которых слагается обобщенная функция распространения.
Простую функцию распространения мы обозначали через /Со (1, 2), где G0 -
свободная функция Грина. Аналогично обобщенную функцию распространения мы
обозначим через iG (1, 2), где G - точная одночастичная функция Грина.
Используя правила Фейнмана и опуская множитель г, диаграммное равенство
рис. 30 можно записать в виде
G (1, 2) = G0 (1, 2) + J d3 dAG0 (1, 3) 2 (3, 4) G0 (4, 2). (19. 1)
Покажем, что функцию Грина G можно записать в виде среднего значения
ап ? <^№(D4>+(2)s]K> ,1П
0(1,2)--! ' { }
где Т - произведение операторов, включающих S-матрицу, следует понимать в
смысле
5 (°°, к) Ч>" (1) s (к, U) ф+ (2) S (t2, -до)
при tx >¦ t2 и аналогично в обратном случае.
Для доказательства достаточно подставить в выражение (19. 2) разложение
S-матрицы (14. 1). Отличный от нуля вклад дадут лишь первые два члена
этого разложения. Рассмотрение, полностью аналогичное проведенному в
разделе 15. 2, немедленно приводит нас к равенству (19. 1), а соотношение
(15. 5) позволяет выразить функцию Грина через операторы в представлении
Гейзенберга:
G (1, 2) = - i (W | Т [фг (1) ф+ (2)] | W). (19. 3)
Это соотношение отличается от выражения (19. 2) более простой структурой,
и потому удобно для исследований общего характера. Однако в него входят
гейзенберговские операторы и волновые функции, требующие Для своего
нахождения решения задачи о взаимодействии.
19. 3. Соотношение (19. 1), связывающее функцию Грина с собственно
энергетической частью 2 , может быть заменено более удобным соотношением,
называемым уравнением Дайсона.
Предварительно проведем анализ собственно энергетической части 2 с точки
зрения тех диаграмм, из которых она состоит. Как видно из рис. 21, наряду
с так называемыми компактными диаграммами, которые нельзя рассечь линией,
пересекающей только одну линию диаграммы (см. рис. 21, б, в, г), в 2
входят также некомпактные диаграммы, не обладающие этим свойством, (см.
рис. 21, д). Оказывается возможным свести 2 к сумме лишь компактных
диаграмм, которая обозначается через М (1, 2) и носит название массового
оператора. Его графическое изображение приведено на рис. 32.
171
Для нахождения связи между величинами Е и М достаточно провести следующее
несложное рассуждение. Сумма всех диаграмм (компактных и некомпактных),
образующих Е , может быть получена, если взять сначала сумму компактных
диаграмм, затем сумму некомпактных, образованных из пары компактных,
затем сумму некомпактных - из трех компактных и т. п. (рис. 33).
При использовании правил Фейнмана для получения соответствующего
аналитического соотношения нужно учитывать, что
'EM i + |Oi ! . П1 +
-L -I-I-L.
Рис. 32
в отличие от вакуумных переходов (см. § 14) здесь не появляется никаких
дополнительных численных множителей. Это связано с наличием выделенного
направления распространения, что делает невозможной дополнительную замену
переменных, сохраняющую вид рассматриваемого элемента. Поэтому мы
получаем простое соотношение
s (1, 2) = М (1, 2) + J d3 d4M (1, 3) G0 (3, 4) М (4, 2) ]-+ \d3d4d5d6M
(1, 3)G0(3, 4) М (4, 5)G0(5, 6) Л1 (6, 2) -: ... (19.4)
0 - 13 + 13~3 + ,;
Рж. 33
Этот бесконечный ряд можно считать решением следующего интегрального
уравнения:
S (1" 2) = Л4 (1, 2)-bJd3d4Af(I,3)G0(3,4)S(4,2). (19.5) '
В самом деле, последовательно итерируя это уравнение, т. е. подставляя в
правую часть вместо Е сначала М, затем получившееся исправленное
выражение для Е и т. д., мы вернемся к выражению (19. 4). Это
интегральное уравнение изображено графически на рис. 34.
Рассмотрим далее комбинацию
Jd3 2(l,3)G0(3,2) =
= jd3M (1, 3) [G0(3, 2) + Jd4d5G0 (3, 4) ? (4, 5) G0 (5, 2)]. (19.6)
Согласно выражению (19. 1) в правую часть можно ввести функцию Грина G,
что даст (рис. 35)
