Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Это выражение описывает целый ряд процессов: рассеяние частицы на
частице, частицы на дырке и т. д., которым также можно поставить в
соответствие диаграммы (рис. 16). Их единственное отличие от
рассмотренных диаграмм состоит в отсутствии пространственно-временных
точек; вместо этого линии свободных концов приобретают индексы
соответствующих состояний.
б
Рис. 15
V
где
А
V
I
Si = y (2я) 2 < V1V21 ^|v3v4)6(6Vl +
VtV2V3V4
118
Переходим к процессам второго порядка. Повторяя несколько более сложные,
но вполне аналогичные произведенным выше выкладки, получим следующее
выражение для элемента S-матрицы процессов, рассмотренных в разделе 12.
2:
86 (eVl + е2 - eV3 - ег) 6 (ех + eVa - е2 - ev") X X (vLp2j KjpjVg) (
pxv2| P|p2v4) -f
-f- 46 (EVj e2 (r) V4 ^l) S (бх E v, 82 EVa) X
X ( ViPa I V \ pxv4 ) ( v2pL I VI p2v3 > -
- 46 (eVj + El - eVs - B2) 6 (e2 + EV3 -Ej - EV4) X
X ( тхрх | V\v3p2) ( p2v2 [ V | ptv4 ). (12. 11)
Диаграммы, отвечающие этим четырем процессам (рис. 17), вполне аналогичны
диаграммам рис. 13. Заметим, что pjEj и р2е2 представляют собой индексы
состояния и энергии виртуальных частиц
Рассмотрим еще процесс распространения частицы (рис. 18),
+ е2 - ез - ev2) X { ( VjPsI V | рхр2 ) ( PiPal Р>2р3> -
- ( vxp3 | P|p1p2)(p1p2| V\p3v2 ) ) N(A+AVl).
Из последних двух соотношений видно, что и здесь фактически содержатся
необходимые законы сохранения энергии, соблюдаю-
119
V1V2V3V1 Ц!Ц2
X Kv^zVaVt^ (Д v"3-<4 v2) > (12. 10)
ViV3V3V4
где
X (vxv2 I VI pxp2) { pxp2 I V\ v3v4) -L
Рис. 16
Рис. 17
x iG0(l3 (Eg) (- 8) 6 (eVl + E3 - - B2) 6 (ex + (12.12)
щиеся на каждой линии взаимодействия диаграммы. В отличие от "старой"
теории возмущений закон сохранения энергии здесь выполняется как для
реальных, так и для виртуальных частиц. Это достигается за счет нарушения
"жесткой" связи между энергией виртуальной частицы е, входящей в функцию
Грина G0v (е), и величиной ev (в пространственно-однородном случае е Ф
р2/2М). Указанное обстоятельство является одним из факторов,
обеспечивающих простую структуру членов ряда полевой теории возмущений.
12. 4. Полученные результаты не зависят от скорости включения
взаимодействия б в пределе б -> 0; это свойство присуще всем диаграммам,
имеющим свободные концы. Иначе обстоит дело
Мз
о?
для диаграмм вакуумных переходов, к рассмотрению которых мы переходим.
Подставляя в выражения (12. 2) и (12. 6) разложение для функции G0, можно
получить выражение для соответствующего элемента 5-матрицы в
энергетическом представлении. Мы ограничимся рассмотрением входящих туда
интегралов по /.
Первый член выражения (12. 6), отвечающий диаграмме рис. 15, а, содержит
интегралы вида
/ = J dtx ехр [-6 | tx | -iti (е* - е2 + е3 - е4) ] X
- оо оо
X J dt3 ехр [-6 | t31 - it3 (е2 + е4 - ех - е3) ].
- оо
Несложное вычисление (см. приложение В) дает
/= Г_____________?"__________I2.
L б2 -f- (8j - 8г + 83 - 84)2 J
В пределе б -> 0 заключенное в квадратные скобки выражение стремится с
точностью до множителя к б (ех - е2 + е3 - е4). Поэтому величина I в
пределе б 0 стремится к со. Аккуратно выделяя указанную особенность,
имеем
/~-|рб(е1 + е3 - е2 - е4). (12.13)
120
Аналогично второй член выражения (12. 6) дает
/ ~ -g- б (ех + е2 -f- е3 + е4). (12.14)
Остающаяся б-функция устраняется при последующем интегрировании по е.
Полученные результаты носят весьма общий характер. Пусть рассматривается
диаграмма л-го порядка, имеющая свободные концы. Тогда л - 1 входящих в
соответствующий элемент 5-матрицы б-функций, выражающих закон сохранения
энергии, устраняются при последующем интегрировании по е. Остающаяся б-
функция выражает закон сохранения энергии для свободных концов (для
диаграммы в целом).
Любая диаграмма, не имеющая свободных концов, может быть получена из
соответствующей диаграммы со свободными концами замыканием последних друг
на друга, т. е. отождествлением энергий выходящих и входящих линий. При
этом закон сохранения энергии для свободных концов выполняется
тождественно и соответствующая б-функция будет иметь нулевой аргумент *.
Более строгое рассмотрение приведет к особенности -1/6.
Таким образом, любая диаграмма вакуумного перехода имеет особенность типа
1/6. Это обстоятельство существенно с точки зрения однозначности величины
(9. 24).
§ 13. ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
13. 1. Рассмотренные примеры позволяют сформулировать общие правила
построения элемента 5-матрицы, отвечающего данному процессу.
Элемент 5-матрицы л-го порядка содержит следующие составные части:
нормальное произведение операторов поля, л-кратное произведение
потенциалов взаимодействия V, произведение сверток операторов /С0 и
некоторый численный коэффициент.
Нормальное произведение операторов рождения и уничтожения будем брать с
тем знаком, с которым оно входит в выражение
^ • • • ).
где индексы "а" относятся к свободным концам одной из сплошных линий, "б"
- другой и т. д. Относительное расположение групп ф+фа, ф^фй не играет,
