Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
* Сохранение обменных членов в квазиклассическом уравнении (5. 8) (оно
носит специальное название уравнения Томаса - Ферми - Дирака) означало бы
учет только части членов из числа имеющих один и тот же порядок величины.
Более последовательным является рассмотрение обменных и квантовых
поправок на равных началах [51].
52
ния (5. 1), совпадает с параметром ?2, что и доказывает утверждение о
совпадении порядков величин квантовой и обменной поправок.
Из соотношения (5. 14) следует, что с увеличением плотности системы вклад
квантовых (и обменных) поправок уменьшается. В самом деле, подставляя в
это соотношение плотность из выражения (5. 5), получим
Если область вблизи ядра является по каким-либо причинам выделенной, то
приведенные оценки оказываются непригодными. В этой области
Таким образом, в области г < aJZ квантовые поправки велики, в то время
как обменные дают малый вклад.
5. 6. Малость параметра (5. 14) означает, что взаимодействие каждой
пары частиц мало по сравнению с их кинетической энергией. Однако отсюда
нельзя заключить, что полная энергия взаимо: действия частиц системы мала
по сравнению с полной кинетической энергией (см. раздел 1. 6).
Для выяснения этого вопроса оценим величину потенциала U + В. Каждая из
частиц системы взаимодействует не со всеми остальными частицами, а лишь с
частицами, расположенными от нее не далее некоторого расстояния хх. Для
ограниченных в пространстве систем (атома, ядра) это расстояние просто
совпадает с размерами системы. Если же рассматривается бесконечно
протяженная система, то появляется экранировка рассматриваемой частицы,
обусловленная электростатическим потенциалом компенсирующего фона; хх ¦
является радиусом экранированной области. Для твердого тела, например, х1
представляет собой величину порядка расстояния между атомами решетки. Из
сказанного ясно, что оценку потенциала можно получить, подставляя в его
выражение длину хх:
Отношение этой величины к кинетической энергии оказывается равным рох\/а0
- (роХ[)2 (а0р0)~[. Этот параметр, который и дает отношение полных
энергий взаимодействия и кинетической энергии, может значительно
превосходить (айр^)~1. Так, в случае сжатого твердого тела хх - Z'/s/po и
(Po*i)2-22/з; для
(5. 14')
где г - расстояние от ядра. Отсюда
а,о Zr '
дг
U + В e2plx2.
53
атома ро - Z2/"/a0, хг ~ л;0 ~ a0Z~v*, (a0Po)_1 ~ I2 [49]
и рассматриваемое отношение оказывается вообще величиной порядка единицы.
В однородном случае приведенные оценки теряют силу из-за того, что х0 со
и уравнение (5. 13) превращается в тождество 0=0. Ввиду полной
компенсации потенциалов U и В параметр xlt наоборот, стремится в этом
случае к нулю *. В результате остается только один параметр,
характеризующий взаимодействие между частицами, именно (а0р0)-1.
Таким образом, кулоновское. взаимодействие между частицами неоднородной
системы может играть существенную роль, даже если параметр (а0р0)~1 мал
по сравнению с единицей. Это связано с дальнодействующим характером
кулоновских сил, благодаря чему при достаточно больших значениях
параметра (Ро-О)2 с данной частицей взаимодействует большое число других
частиц.
5. 7. Для выяснения пределов применимости уравнения Томаса - Ферми, а
также для нахождения соответствующих поправок к этому уравнению,
необходимо учесть в уравнениях Хартри- Фока члены порядка |2 - (а0р0)-1.
В этом приближении квантовые и обменные эффекты можно рассматривать
независимо друг от друга. Начнем с обменных эффектов.
Действуя на обе части уравнения (5. 8) оператором Лапласа, будем иметь
Здесь в правой части стоит обменный член, который следует считать малым.
Соответственно выделим из р\ часть, отвечающую уравнению (5. 12), и
обменную поправку р2 ->• р\ + бхРо- С учетом малости последней можно
написать
Решение этого уравнения должно быть выбрано в соответствии с условием
нормировки. Другими словами, должно выполняться равенство
Обменная поправка к полной энергии получается заменой
Ро -> Ро + SiPo в выражении (5. 6) и в первых двух членах соотношения (5.
7). Последний член соотношения (5. 7), обозначен-
* Этот вывод справедлив лишь в пренебрежении корреляциями. Последние
приводят к так называемому дебаевскому экранированию.
(5. 15)
(5. 16)
54
ный через Si, имеет чисто обменную природу и должен целиком входить в
обсуждаемое выражение. Таким образом,
= 4Я2д} Po^iPo + Р + + &i- (5.17)
Учитывая уравнение (5. 12) и условие нормировки, находим окончательно
61S=S1^--^rpt. (5.18)
5. 8. Переходим к определению квантовых поправок к приближению Томаса
- Ферми, обусловленных неточностью квазиклас-сического приближения [43,
46]. Понятие о заполнении ячеек фазового пространства, лежащее по
существу в основе предыдущего рассмотрения, является сугубо приближенным,
поскольку при этом в значительной мере игнорируется квантово-механический
принцип неопределенности. Формальным источником квантовых эффектов
является, таким образом, некоммутация операторов координаты и импульса.
