Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
обозначали через А,), которая определяет состояние системы (в
конфигурационном представлении) или базис состояний (в представлении
чисел заполнения). В этом смысле-различаются координатное, импульсное,
энергетическое и другие представления.
Описание квантового объекта следует, таким образом, начинать с выбора
определенной комбинации представлений трех перечисленных типов. В § 1,
например, использована комбинация координатного и конфигурационного
представлений и представления Шредингера; в гл. III будет широко
применяться комбинация импульсного представления и представлений
взаимодействия и чисел заполнения.
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ
3. 1. В рассматриваемом представлении динамическими переменными
являются числа заполнения nv*, определяемые числом частиц, находящихся в
каждом состоянии %v выбранного базиса. Последний задается выбором
произвольной полной ортонормиро-ванной системы одночастичных функций Xv
(ч) (т = 1, 2 . . .). В качестве %v можно, в частности, взять систему
собственных функций оператора Т [см. выражение (1. 3)] с собственными
значениями ev
T%v = zv%v. (3.1)
Такой выбор отвечает, очевидно, энергетическому представлению.
Переход к новому представлению следует начать с построения системы
функций Ф" (Q) (п = пи п2 . . . ), отвечающих нахождению частиц в
состоянии Xi, п2 частиц - в состоянии %2 и т. д. Перебирая всевозможные
комбинации целых чисел nv, удовлетворяющих условиям (речь идет о ферми-
часТицах) nv = 0, 1,
* Соответственно этому мы пишем ниже Ф" (Q) вместо (Q).
2?
2 nv = N, можно прийти к следующей полной ортонормированной
•V
системе функций:
ф" (Q) = ( ni!t, ¦•••)1/2 SxVl (<7i) . . • Xv" ы. (3- 2)
где среди индексов vx < v2 < v3 . . . имеется равных 1, п2 равных 2 и т.
д. Символ 5 означает антисимметризацию по координатам q.
В частности, для N = 2
Ф2, О, О ... = Фо, 2, О . . . = О,
Фи 1,0 . . . =у=^[х, Ш Ъ (9а) - 5Ci Ш Ха(<7 i)J
и т. д.
3. 2. Используя общую формулу (2. 13), легко получить выражение для
волновой функции в новом представлении:
?(л, t) = \dQQ)*n(Q)4(Q, t), (3.3)
играющей роль амплитуды вероятности обнаружения пх частиц в состоянии Xii
п2 частиц - в состоянии Хг и т. д. В частности, •если в этой формуле в
качестве ? (Q, t) возьмем саму функцию Ф"0 (Q) (яо = Я01, "02 • • •), то
мы придем к волновой функции состояния с определенными значениями чисел
заполнения, равными я о:
?"о (я) = jdQ<b*n (Q) Ф"о (Q) = б",v (3. 4)
Реальную волновую функцию (3. 3) всегда можно представить ,в виде
суперпозиции функций (3. 4) с зависящими от времени коэффициентами:
?(п, 9 = 2 С К, Г)ЧПо(п),
По
где
С (яо, t) = ? (п0, t).
Особую роль в теории играет состояние "вакуума", отвечающее полному
отсутствию частиц. Волновая функция этого состояния, для которого п01 =
я02 = • • • = 0, обозначается через ?вак (я). Как и другие функции (3.
4), отвечающие фиксированным числам заполнения, она нормирована на
единицу.
3. 3. Прежде чем формулировать правила построения операторов в новом
представлении (эти операторы должны действовать на функции чисел
заполнения), необходимо ввести так называемые операторы уничтожения и
рождения Ау и At- Результат их дей-28
ствия на произвольную функцию чисел заполнения определяется следующим
образом:
Av?(..., nv, ...) = (-1)"1/ 1 +"v nv+ 1, ...),
Л+?(..., nv-l, ...). |
Числа заполнения nk с К =/= v вообще не меняются; показатель а
V-I
равен 2 %.
Л=1
Из приведенного определения следует, что оператор Av играет роль
оператора уничтожения, a At - оператора рождения частицы в состоянии %v.
В результате действия этих операторов на волновую функцию ?По (п)
получаются выражения, пропорциональные соответственно *
П01 ¦ ¦ • S"v+'> nov ¦ ¦ ¦ = S"i- noi • ¦ • SV nov~l
¦ ¦ ¦
Й"г по1 ¦ ¦ ¦ Snv-'' nov ¦ ¦ • ~ П01 • • • S/V nov+'
¦ ¦ •
Таким образом,
Av?" п ~VnQv?n п -1
v Л01..... 0V' ' ' ' UV 01' • ' ' "ov •
*^"01 "ov, nov+l, ....
В частности, при действии на вакуум оператор уничтожения дает нуль:
АУ?ВЙК = 0, ?*вакА+ = 0. (3. 6)
Второе равенство получается сопряжением первого.
Из соотношения (3. 5) нетрудно получить следующие правила коммутации
операторов А и й+:
At\ = \v, |
Мм, AV} = [A+, А+] =0.f
(3.7)
Из соотношения (3. 7) получаем
(Avf = U+)2 = 0.
С помощью введенных операторов легко связать волновую функцию ?По (п) с
вакуумом:
?По(п) = ШГ°'ШГ^ ... ?вак. (3.8)
Отсюда с учетом предыдущих равенств легко прийти к неравенству nov < 1,
выражающему принцип Паули.
* Обычно операторы Аи А+ определяются по их действию не на динамическую
переменную п, а на индекс состояния п0. Поэтому определение (3. 5),
отличаясь от обычного, представляется более последовательным с точки
зрения общего понятия об операторе в квантовой теории.
29
Практически никогда не приходится пользоваться определением операторов А,
А+. Дело сводится обычно к необходимости вычисления матричного элемента
произведения таких операторов, что выполняется без труда с помощью
соотношений (3. 6)-(3. 8) и условия нормировки вакуума. Так, например,
