Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
исследуем широкий класс-встречающихся на практике систем, динамика
которых является структурно устойчивой. Это так называемые системы Морса
- Смейла. Представленные ниже результаты обеспечивают частичное обобщение
теоремы о структурной устойчивости, приведенной в разделе о структурной
устойчивости для диска, на случай "-мерных Систем.
Прежде всего рассмотрим "-мерное О'-многообразие, которое обозначим М (М
представляет собой топологическое пространство, которое в [/-окрестности
каждой точки m
188 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
является аналогом Rn). На М можно надлежащим образом ввести операции
дифференцирования (рис. 5.17), причем преобразование координат a: M^-Rn
будет С°°. Простыми примерами многообразий служат J?", сферы, торы и
открытые подмножества Rn.
С'-векторное поле (или поле на правлений для дифференциального уравнения)
на М является результатом .процедуры,
согласно которой каждой точке хе М приписывается вектор v(x) так, чтобы
вектор-функции v(x) были гладкими (в смысле С1).
Понятие подобные фазовые портреты для двух векторных полей v и w вводится
следующим определением.
Определение 5.6
Два векторных поля называются топологически совместимыми, если существует
взаимно-однозначное непрерывное отображение h, переводящее
соответствующие полю v направленные кривые в направленные кривые,
соответствующие полю w.
Таким образом, если векторные поля v и w топологически совместимы, они
будут иметь одинаковое число точек равновесия, одинаковое число
периодических замкнутых траекторий и сходное общее качественное
поведение.
Теперь можно пояснить смысл близких векторных полей путем введения
топологии в пространстве V(M), С'-вектор-ных полей на М. Будем называть
поля v и w близкими, если они близки поточечно и таким же свойством
обладают их первые производные. (Точные "определения достаточно
громоздки, поэтому за подробностями мы отсылаем читателя к-ссылкам,
приведенным в конце главы.) Представление о близости векторных полей дает
нам возможность ввести определение структурной устойчивости.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 189
Определение 5.7
Векторное поле оеУ(М) является структурно устойчивым, если существует
окрестность N(v) в V{M), такая, что каждый вектор w е N(v) топологически
совместим с v.
Основная проблема структурной устойчивости модели заключается в том,
чтобы установить необходимые и достаточные условия структурной
устойчивости некоторого векторного поля.
Примеры. Простой гармонический осциллятор
Было показано, что элементарная система, какой является ' гармонический
осциллятор, описывается уравнением
х - - х
и имеет фазовый портрет, состоящий из концентрических окружностей в
фазовой плоскости (х, х). Это векторное поле не будет структурно
устойчивым, поскольку любое векторное поле, топологически совместимое с
и, имеет только периодические замкнутые траектории, причем стрелки,
показывающие направление v (см. рис.
5.4), всегда можно слегка отклонить в сторону начала координат, чтобы
получить близкое векторное поле с непериодическими траекториями.
Пример. Уравнение Ван дер Поля
В случае уравнения Ван дер Поля векторное поле v определяется уравнениями
Xi = х2,
хх = - г (х\ - 1)л:2 - xlt е > 0.
Эта система имеет одну периодическую замкнутую траекторию, причем каждая
внешняя по отношению к ней траектория свертывается, приближаясь к
замкнутой траектории, а каждая внутренняя развертывается по спирали,
также приближаясь к замкнутой траектории (рис. 5.19). Следовательно, это
уравнение структурно устойчиво при всех е > 0.
Наиболее важный класс структурно устойчивых векторных полей системы Морса
- Смейла характеризуется следующими условиями:
Рис. 5.18. Фазовый портрет простого гармонического осциллятора.
190 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
поле v(x) имеет конечное множество точек равновесия, т. е. точек х,
таких, что y(jt) = 0, и каждая такая точка гиперболическая;
поле v(x) имеет конечное множество замкнутых периодических траекторий и
каждая из них является гиперболической;
устойчивые и неустойчивые многообразия точек равновесия и замкнутых
периодических траекторий, пересекаясь, встречаются трансверсально (это
означает недопустимость касания между устойчивыми и неустойчивыми
многообразиями);
неподвижными точками системы 2 являются точки равновесия вместе с точками
периодических замкнутых траекторий. (Точка х считается неподвижной, если
в каждой открытой окрестности U точки х при любом Т > 0 существует /> Г,
такое, что х(0е U, если x(0)e U. Другими словами, если любая кривая,
описывающая решение системы 2, начинается в U, она должна бесконечно
часто возвращаться в U.)
В разделе о структурной устойчивости были даны необходимые и достаточные
условия структурной устойчивости в случае, когда многообразие М
представляет собой двумерный диск. В действительности оказывается
справедливым следующий, более сильный результат: если dimM = 2, то
