Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
модельных ситуаций, или так называемых типичных системных задач. Анализ
этих задач позволит выявить некоторые общие системные проблемы, для
изучения которых, как будет показано, может быть использовано несколько
математических конструкций. При этом неоднократно подчеркивается, что не
существует единственной модели данной системы: существует множество
моделей, каждая из которых обладает характерными математическими
свойствами и каждая из которых пригодна для изучения определенного класса
вопросов, связанных со структурой и функционированием системы. Поэтому
особенно важно, чтобы исследователь имел в своем распоряжении как можно
больше математических методов для анализа принципов построения и работы
созданной им модели.
Пример. Макроэкономика
Рассмотрим экономический комплекс, состоящий из п секторов, выпускающих
продукцию х\, Хч, хп соответственно. Предположим для определенности, что
выпуск продукции измеряется в долларах в год, причем продукция,
выпускаемая каждым сектором, используется как самим сектором, так и
другими секторами комплекса и внешними потребителями.
Пусть а,•/ представляет собой часть продукции, выпускаемой i-м сектором,
которая необходима для производства единицы продукции /-го сектора (г, /
= 1, 2, ..., п). Внешнее потребление продукции, выпускаемой i-м сектором,
обозначим через yi. Тогда можно записать следующее уравнение
материального баланса:
гг
*1" ЕаИх1 + У1' *'=1,2
Основные понятия и методы системного анализа
13
Данная элементарная модель может быть использована для определения объема
продукции, необходимой для удовлетворения заданного спроса при
существующей технологии, jCOtopan описывается с помощью коэффициентов ац.
Возможные обобщения и детализация этой модели образуют основу длй так
называемой модели затраты - выпуск. Матрицу технологических коэффициентов
А = [а,-,] часто называют ле-онтьевской матрицей.
Пример. Динамика водохранилищ
Упрощенный вариант системы водохранилищ показан на рис. 1.1. Выходами
системы являются сток у\ и доля грунтовых вод г/2 в этом стоке, внешними
входами - осадки г\ и г2. Наполнение наземных водохранилищ в момент
времени t обозначено через х\ (t), x2(t) и x3(i), наполнение подземного
Рис. 1.1. Сеть водохранилищ.
резервуара (с учетом просачивания) - через лч(/), а попуски воды из
водохранилищ - через и\ и и2. Учет связи между поверхностным стоком и
грунтовыми водами осуществляется с помощью выражения /з (лг4 - х3);
коэффициент k характеризует поверхностный сток, а коэффициенты 1\ и 12-
грунтовый.
Уравнения неразрывности немедленно приводят к следующим динамическим
соотношениям:
*i V •+1)= *i (0 - hxi (t) - "1 (t) + i"i (t),
x2(t +1) = x2 (t) - l2x2 (t) - u2 (t) + r2 (t),
x3 (t +1) - *3 (0 + k (*4 - *з) - kx3 (t) 4- Ui (t) + Щ (t),
x*(f +1) = *4 (0 + hXi (t) + l2 X2 (t) - /з (*4 - x3).
Измеряемые выходы системы имеют вид
yi(t) = kx3(t),
У2(0 = 1я(х4-хя).
14
Основные понятия и методы системного анализа
Приведенное выше описание системы может оказаться полезным при изучении
ряда важных вопросов, связанных с управлением паводками, оптимальной
стратегией попусков (Водосбросов), точным определением уровня грунтовых
вод и т. д.
Пример. Система хищник - жертва
Одной из наиболее популярных проблем науки о живой природе является
исследование взаимодействия сообществ хищники - жертвы в некоторой
ограниченной Среде обитания.
Рассмотрим для простоты экосистему с одним трофическим уровнем, в которой
хищники и жертвы разделяются на два непересекающихся множества. Пусть
множество хищников состоит из следующих элементов:
Y = {люди, львы, слоны, птицы, рыбы, лошади}, а множество жертв -
X={антилопы, зерно, кабаны, скот, трава, листья,
насекомые, рептилии}.
Определение точных количественных динамических связей, существующих между
хищниками и жертвами, является довольно сложной задачей. Как правило, с
уверенностью можно утверждать только, что определенные хищники выбирают
вполне определенные жертвы. В подобной ситуации описание системы в
терминах отношения инцидентности может дать совершенно неожиданную
информацию о фундаментальной структуре экосистемы.
Определим отношение Я, между множествами X и У следующим образом:
Отношение % существует между хищником у и жертвой х тогда и только тогда,
когда хищник у поедает жертву х. Отношение % удобно описывать с помощью
матрицы инци-денций Л: .
X
х
Анти-
лопы
Зерно Кабаны Скот Трава Листья
Насе- Репти-KONbie лнн
Люди
Львы
Слоны
Птицы
Рыбы
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
ООО
000 11 О
1 О I
0 0 1
1 о о
о
о
о
о
о
Лошади
причем, если хищник у поедает жертву х, то Х= 1, в противном случае к =
0. Анализируя матрицу инциденций А,
Основные понятия и методы системного анализа
15
удойно выявить некоторые совершенно неочевидные структурные свойства
системы хищник - жертва.
Таким образом, даже в отсутствие очевидных динамических уравнений
оказывается возможным построить содержательное (и плодотворное)
